Encontrar o plano tangente e vetor normal em P. z=x^{y}, P=(1,1,1).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar o plano tangente e o vetor normal no ponto P=(1,1,1) da superfície dada por z=x^{y}.\n
Informações fornecidas:
A superfície é dada explicitamente por z=f(x,y)=x^{y}.
O ponto onde devemos encontrar o plano tangente e o vetor normal é P=(1,1,1).
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que usamos para o plano tangente a uma superfície z=f(x,y) num ponto (x_0,y_0,z_0). A fórmula é a aproximação linear (plano tangente):
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Aqui z_0=f(x_0,y_0).\n
Também usaremos que um vetor normal à superfície no ponto é
\mathbf{n}=(-f_x(x_0,y_0),\,-f_y(x_0,y_0),\,1),
pois esse vetor é perpendicular ao plano tangente (padrão para superfícies escritas como z=f(x,y)).
Passo 3
Precisamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{y}. Para derivar x^{y} é conveniente reescrever usando exponencial:
x^{y}=e^{y\ln x}.
Explicando a ideia: x^{y} nem sempre é fácil de derivar diretamente; reescrever como exponencial permite usar a regra da cadeia de forma direta. A função e^{u} tem derivada e^{u}u'. A função \ln x tem derivada 1/x.
Passo 4
Calculemos f_x(x,y) (derivada parcial em relação a x, tratando y como constante). Aplicando a regra da cadeia em e^{y\ln x}:
Agora \frac{\partial}{\partial y}(y\ln x)=\ln x (pois \ln x é constante em relação a y). Logo
f_y(x,y)=e^{y\ln x}\cdot\ln x=x^{y}\ln x.
Passo 6
Avalie as derivadas no ponto (x_0,y_0)=(1,1). Primeiro confirme que z_0=f(1,1)=1^{1}=1 (coerente com P). Agora:
f_x(1,1)=y\,x^{y-1}\Big|_{(1,1)}=1\cdot 1^{0}=1.
f_y(1,1)=x^{y}\ln x\Big|_{(1,1)}=1\cdot\ln 1=0,
pois \ln 1=0. Esses valores são fáceis de calcular sem calculadora: potências de 1 e \ln 1 conhecidos.
Passo 7
Substituímos esses valores na fórmula do plano tangente:
z-z_0=f_x(1,1)(x-1)+f_y(1,1)(y-1).
Com z_0=1, f_x(1,1)=1 e f_y(1,1)=0 obtemos
z-1=1\cdot(x-1)+0\cdot(y-1).
Simplificando,
z-1=x-1 \quad\Rightarrow\quad z=x.
Portanto o plano tangente é a superfície definida pela equação z=x (na vizinhança do ponto).
Passo 8
Agora o vetor normal: usamos a fórmula padrão \mathbf{n}=(-f_x,-f_y,1) avaliada em (1,1). Substituindo os valores:
\mathbf{n}=(-1,\,0,\,1).
Esse vetor é normal ao plano tangente; qualquer múltiplo escalar de (-1,0,1) também seria normal. Se quiser um vetor normal unitário, basta dividir por sua norma \sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}, obtendo \frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1).