Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral:
, sendo
qualquer caminho que parta de
e chegue em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a integral de linha dada é independente do caminho e depois calcular o valor dessa integral. O conteúdo envolvido aqui é o de campos vetoriais conservativos e integrais de linha. Para isso, vamos precisar verificar se o campo vetorial é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial que nos ajude a calcular a integral facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o campo vetorial que está na integral:
. Para ver se a integral é independente do caminho, a gente precisa checar se esse campo é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar
tal que:
Isso significa que as componentes do campo são as derivadas parciais de
:
Passo 3
Vamos tentar encontrar a função
. Primeiro, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
. Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à outra componente do campo:
Simplificando, temos:
Integrando
em relação a
:
Portanto, a função potencial é:
Como a integral de linha em um campo conservativo depende só dos pontos inicial e final, ignoramos a constante
na hora de calcular a integral.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral usando a função potencial
. Os pontos dados são
e
. Calculamos
em cada ponto:
Para
:
Para
:
A integral de linha é a diferença dos valores de
no ponto final e no ponto inicial:
Resposta
A integral de linha é independente do caminho e seu valor é
.