Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral: integralC sen(y) d x+(x cos (y)-sen(y)) d y, sendo C qualquer caminho que parta de (2,0) e chegue em (1, pi).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a integral de linha dada é independente do caminho e depois calcular o valor dessa integral. O conteúdo envolvido aqui é o de campos vetoriais conservativos e integrais de linha. Para isso, vamos precisar verificar se o campo vetorial é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial que nos ajude a calcular a integral facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o campo vetorial que está na integral: F(x, y) = ( sin(y), x cos(y) - sin(y) ). Para ver se a integral é independente do caminho, a gente precisa checar se esse campo é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar f(x, y) tal que:
F = nabla f
Isso significa que as componentes do campo são as derivadas parciais de f:
partial fpartial x = sin(y) e partial fpartial y = x cos(y) - sin(y)

Passo 3

Vamos tentar encontrar a função f(x, y). Primeiro, integramos partial fpartial x = sin(y) em relação a x:
f(x, y) = integral sin(y) , dx = x sin(y) + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende só de y. Agora, vamos derivar f(x, y) em relação a y e igualar à outra componente do campo:
partial fpartial y = x cos(y) + g'(y) = x cos(y) - sin(y)
Simplificando, temos:
g'(y) = -sin(y) - x cos(y) + x cos(y) = -sin(y)
Integrando g'(y) em relação a y:
g(y) = integral -sin(y) , dy = cos(y) + C
Portanto, a função potencial é:
f(x, y) = x sin(y) + cos(y) + C
Como a integral de linha em um campo conservativo depende só dos pontos inicial e final, ignoramos a constante C na hora de calcular a integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral usando a função potencial f(x, y) = x sin(y) + cos(y). Os pontos dados são (2, 0) e (1, pi). Calculamos f em cada ponto:
Para (2, 0):
f(2, 0) = 2 sin(0) + cos(0) = 0 + 1 = 1
Para (1, pi):
f(1, pi) = 1 sin(pi) + cos(pi) = 0 - 1 = -1
A integral de linha é a diferença dos valores de f no ponto final e no ponto inicial:
integralC F cdot dr = f(1, pi) - f(2, 0) = -1 - 1 = -2

Resposta

A integral de linha é independente do caminho e seu valor é -2.

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