Considere o campo vetorial:
F(x, y) = (x^3 y^4, x^4 y^3)
Verifique que F é campo vetorial conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e precisamos verificar se ele é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos vetoriais conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Isso implica que as derivadas parciais de e devem satisfazer uma condição específica.

Passo 3

A condição que precisamos verificar é: para o campo , as derivadas parciais devem obedecer . Se essa igualdade for verdadeira, então o campo é conservativo.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
  • Calculando :
  • Calculando :

Passo 5

Agora, vamos comparar as duas derivadas que calculamos:
Como , a condição para o campo ser conservativo é satisfeita.

Resposta

Sim, o campo vetorial é conservativo.

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