Considere o campo vetorial:
Verifique que
é campo vetorial conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e precisamos verificar se ele é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos vetoriais conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso implica que as derivadas parciais de
e
devem satisfazer uma condição específica.
Passo 3
A condição que precisamos verificar é: para o campo
, as derivadas parciais devem obedecer
. Se essa igualdade for verdadeira, então o campo é conservativo.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
-
Calculando
: -
Calculando
:
Passo 5
Agora, vamos comparar as duas derivadas que calculamos:
Como
, a condição para o campo ser conservativo é satisfeita.
Resposta
Sim, o campo vetorial
é conservativo.