Resolva cada um dos sistemas homogêneos abaixo. \left\{\begin{aligned} x+y+z+w & =0 \\\\ 2 x+y+z+3 w & =0 \\\ x-2 y+z+w & =0\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral do sistema homogêneo
\begin{cases} x + y + z + w = 0,\\\\ 2x + y + z + 3w = 0,\\\ x - 2y + z + w = 0, \end{cases}
que é um sistema de equações lineares em quatro incógnitas. Vamos usar combinações lineares das equações para reduzir o sistema e expressar as variáveis em função de parâmetros.
Passo 2
Subtraímos a primeira equação da segunda e da terceira para obter relações mais simples:
(2x+y+z+3w)\;-\;(x+y+z+w)\;=\;x+2w\;=\;0,
(x-2y+z+w)\;-\;(x+y+z+w)\;=\;-3y\;=\;0.
Daí vem
x + 2w = 0\quad\Longrightarrow\quad x = -2w,
-3y = 0\quad\Longrightarrow\quad y = 0.
Passo 3
Agora substituímos x = -2w e y=0 na primeira equação original:
(-2w) + 0 + z + w = 0 \quad\Longrightarrow\quad z - w = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = w.
Passo 4
Restou apenas w livre. Definimos o parâmetro t = w. Assim