Mostre que \left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right)\right\} é base de M_{2 \times 2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
\Bigl\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\Bigr\},
onde
E_{11}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix},
é base de M_{2\times2}.
Para isso vamos usar a definição de base: precisamos ver que o conjunto gera todo M_{2\times2} (gera­dor) e que os vetores (matrizes) são linearmente independentes.]

Passo 2

(Provar que gera M_{2\times2}).
Seja uma matriz arbitrária
A=\begin{pmatrix}a & b\\[6pt]c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}.
Note que podemos escrever
A = a\,E_{11}+b\,E_{12}+c\,E_{21}+d\,E_{22}.
De fato, somando
a\begin{pmatrix}1&0\\[3pt]0&0\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}0&1\\[3pt]0&0\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}0&0\\[3pt]1&0\end{pmatrix} +d\begin{pmatrix}0&0\\[3pt]0&1\end{pmatrix}
obtemos exatamente \bigl(\begin{smallmatrix}a&b\c&d\end{smallmatrix}\bigr). Logo qualquer matriz de M_{2\times2} é combinação linear desses quatro, ou seja, eles geram o espaço.]

Passo 3

(Provar independência linear).
Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma,\delta tais que
\alpha\,E_{11}+\beta\,E_{12}+\gamma\,E_{21}+\delta\,E_{22} =\begin{pmatrix}0&0\\[3pt]0&0\end{pmatrix}.
Escrevendo a soma das matrizes em cada entrada, vemos que
  • Na posição (1,1) aparece \alpha, logo \alpha=0.
  • Na posição (1,2) aparece \beta, logo \beta=0.
  • Na posição (2,1) aparece \gamma, logo \gamma=0.
  • Na posição (2,2) aparece \delta, logo \delta=0.
Como os únicos escalares que anulam a combinação são todos zero, as matrizes são linearmente independentes.]

Resposta

O conjunto \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\} gera M_{2\times2} e é linearmente independente, logo é base de M_{2\times2}.
ewline

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