Prove que \mathrm{Mag}_{3} é um subespaço de M_{33}.
Passo 1
O enunciado pede para provar que \mathrm{Mag}_3 é um subespaço de M_{33}. O conteúdo envolvido é teoria de espaços vetoriais e subespaços: precisamos verificar se \mathrm{Mag}_3 contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Definimos
M_{33} = \{\text{todas as matrizes \(3\times3\) sobre \(\mathbb{R}\)}\},
e
\mathrm{Mag}_3 = \bigl\{A\in M_{33}\;\bigm|\; \text{todas as linhas, colunas e as duas diagonais de \(A\) somam a mesma constante}\bigr\}.
Em outras palavras, existe s\in\mathbb{R} tal que cada linha, cada coluna e cada diagonal de A somam s.
Passo 3
Mostramos que a matriz zero \mathbf{0} pertence a \mathrm{Mag}_3. De fato, em \mathbf{0} todas as entradas são 0, então a soma de cada linha, cada coluna e cada diagonal é
0+0+0 = 0,
isto é, a constante mágica vale 0. Logo \mathbf{0}\in\mathrm{Mag}_3.
Passo 4
Verificamos a fechamento sob soma. Sejam A,B\in\mathrm{Mag}_3 com constantes mágicas s_A e s_B. Para cada linha i temos
que independe de i. O mesmo raciocínio vale para colunas e para cada diagonal. Portanto A+B é mágico, com constante mágica s_A+s_B, ou seja, A+B\in\mathrm{Mag}_3.
Passo 5
Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja A\in\mathrm{Mag}_3 com constante mágica s e \lambda\in\mathbb{R}. Para cada linha i