Prove que \mathrm{Mag}_{3} é um subespaço de M_{33}.

Passo 1

O enunciado pede para provar que \mathrm{Mag}_3 é um subespaço de M_{33}. O conteúdo envolvido é teoria de espaços vetoriais e subespaços: precisamos verificar se \mathrm{Mag}_3 contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Definimos
M_{33} = \{\text{todas as matrizes \(3\times3\) sobre \(\mathbb{R}\)}\},
e
\mathrm{Mag}_3 = \bigl\{A\in M_{33}\;\bigm|\; \text{todas as linhas, colunas e as duas diagonais de \(A\) somam a mesma constante}\bigr\}.
Em outras palavras, existe s\in\mathbb{R} tal que cada linha, cada coluna e cada diagonal de A somam s.

Passo 3

Mostramos que a matriz zero \mathbf{0} pertence a \mathrm{Mag}_3. De fato, em \mathbf{0} todas as entradas são 0, então a soma de cada linha, cada coluna e cada diagonal é
0+0+0 = 0,
isto é, a constante mágica vale 0. Logo \mathbf{0}\in\mathrm{Mag}_3.

Passo 4

Verificamos a fechamento sob soma. Sejam A,B\in\mathrm{Mag}_3 com constantes mágicas s_A e s_B. Para cada linha i temos
\sum_{j=1}^3 (A+B)_{ij} =\sum_{j=1}^3 A_{ij} + \sum_{j=1}^3 B_{ij} = s_A + s_B,
que independe de i. O mesmo raciocínio vale para colunas e para cada diagonal. Portanto A+B é mágico, com constante mágica s_A+s_B, ou seja, A+B\in\mathrm{Mag}_3.

Passo 5

Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar. Seja A\in\mathrm{Mag}_3 com constante mágica s e \lambda\in\mathbb{R}. Para cada linha i
\sum_{j=1}^3 (\lambda A)_{ij} =\sum_{j=1}^3 \lambda\,A_{ij} =\lambda\sum_{j=1}^3 A_{ij} =\lambda s,
e o mesmo vale para colunas e diagonais. Logo \lambda A\in\mathrm{Mag}_3.

Resposta

Concluímos que \mathrm{Mag}_3 contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar. Portanto \mathrm{Mag}_3 é um subespaço de M_{33}.

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