4.6 Mostre que \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{P}=c_{P}-P \beta v.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade
\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{P}=c_{P}-P\beta v.
Informações e símbolos fornecidos / que usaremos (sem resolver ainda):
  • u é a energia interna específica (por unidade de massa ou por mol, conforme convenção adotada; aqui a forma das relações não depende dessa escolha).
  • T é a temperatura.
  • A derivada \left(\dfrac{\partial u}{\partial T}\right)_{P} é a variação de u com T mantendo a pressão P constante.
  • c_{P} é a capacidade térmica a pressão constante (por unidade de massa ou molar), isto é, definido à pressão fixa.
  • v é o volume específico (volume por unidade de massa) ou volume molar, conforme a convenção.
  • \beta é o coeficiente de dilatação térmica isobárica, que relaciona \partial v/\partial T a v.
    Não se resolvendo nada ainda: na sequência vamos usar definições e relações termodinâmicas básicas (definição de entalpia, definição de c_{P}, definição de \beta) para chegar à igualdade pedida.

Passo 2

Definição útil: entalpia específica h é dada por
h = u + Pv.
Explicação didática: entalpia combina a energia interna u com a energia necessária para “fazer lugar” ao sistema contra a pressão externa, Pv. Aqui P é pressão (escalar) e v é o volume específico; a soma é feita ponto a ponto (mesma unidade por massa ou por mol).

Passo 3

Definição de capacidade térmica a pressão constante:
c_{P} = \left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_{P}.
Explicação didática: c_{P} mede quanto a entalpia h varia com T quando mantemos P fixo. Em processos à pressão constante, o calor trocado por unidade corresponde à variação de h, por isso essa definição.

Passo 4

Derivamos h em relação a T com P mantido constante. Aplicando derivada parcial à expressão h=u+Pv com P constante, obtemos
\left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_{P} = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{P} +P\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P}.
Justificativa: P é constante no diferencial, então \partial(Pv)/\partial T|_{P}=P\,\partial v/\partial T|_{P}.

Passo 5

Usando a definição de c_{P} do Passo 3 e a igualdade do Passo 4, isolamos \left(\dfrac{\partial u}{\partial T}\right)_{P}:
c_{P} = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{P} +P\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P},
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\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{P} = c_{P} - P\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P}.

Passo 6

Definição do coeficiente de dilatação térmica isobárica \beta:
\beta = \frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P}.
Explicação didática: \beta mede a fração de variação do volume por variação de temperatura à pressão constante. Reescrevendo, temos
\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P} = \beta v.

Passo 7

Substituindo a expressão do Passo 6 na relação obtida no Passo 5, obtemos
\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{P} = c_{P} - P\,\beta v.
Essa é exatamente a relação pedida. Fizemos uso apenas da definição de entalpia, da definição de c_{P} e da definição de \beta.

Resposta

\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{P}=c_{P}-P\beta v.

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