4.6 Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade
Informações e símbolos fornecidos / que usaremos (sem resolver ainda):
-
é a energia interna específica (por unidade de massa ou por mol, conforme convenção adotada; aqui a forma das relações não depende dessa escolha). -
é a temperatura. - A derivada
é a variação de com mantendo a pressão constante. -
é a capacidade térmica a pressão constante (por unidade de massa ou molar), isto é, definido à pressão fixa. -
é o volume específico (volume por unidade de massa) ou volume molar, conforme a convenção. -
é o coeficiente de dilatação térmica isobárica, que relaciona a .
Não se resolvendo nada ainda: na sequência vamos usar definições e relações termodinâmicas básicas (definição de entalpia, definição de, definição de ) para chegar à igualdade pedida.
Passo 2
Definição útil: entalpia específica
é dada por
Explicação didática: entalpia combina a energia interna
com a energia necessária para “fazer lugar” ao sistema contra a pressão externa,
. Aqui
é pressão (escalar) e
é o volume específico; a soma é feita ponto a ponto (mesma unidade por massa ou por mol).
Passo 3
Definição de capacidade térmica a pressão constante:
Explicação didática:
mede quanto a entalpia
varia com
quando mantemos
fixo. Em processos à pressão constante, o calor trocado por unidade corresponde à variação de
, por isso essa definição.
Passo 4
Derivamos
em relação a
com
mantido constante. Aplicando derivada parcial à expressão
com
constante, obtemos
Justificativa:
é constante no diferencial, então
.
Passo 5
Usando a definição de
do Passo 3 e a igualdade do Passo 4, isolamos
:
logo
Passo 6
Definição do coeficiente de dilatação térmica isobárica
:
Explicação didática:
mede a fração de variação do volume por variação de temperatura à pressão constante. Reescrevendo, temos
Passo 7
Substituindo a expressão do Passo 6 na relação obtida no Passo 5, obtemos
Essa é exatamente a relação pedida. Fizemos uso apenas da definição de entalpia, da definição de
e da definição de
.