Sejam
não todos nulos e
o conjunto dos divisores comuns a todos esses números. Definimos então
Máx
. Prove que, se
e
, então temos
.
Passo 1
Vou explicitar o que o enunciado nos dá e o que pede, bem direitinho (peguei todas as informações do enunciado).
- Dados:
, não todos nulos, com . - Definição:
é o conjunto dos inteiros que dividem simultaneamente todos os . - Definição:
é o máximo elemento de (ou seja, o máximo divisor comum desses números). - Hipótese adicional:
. Ou seja, é o máximo divisor comum de e .
O que o enunciado pede: provar que
Em outras palavras: trocar
e
pelo seu MDC
não altera o MDC de toda a família
.
Passo 2
Estratégia clara (sem resolver ainda): é natural comparar os conjuntos de divisores comuns. Se eu mostrar que
então os máximos desses conjuntos são iguais, logo
Vou demonstrar a igualdade dos conjuntos mostrando duas inclusões:
e
.
Passo 3
Provar
.
Seja
um elemento arbitrário de
. Por definição de
, isso significa que
divide cada um dos
, isto é,
Em particular,
divide simultaneamente
e
; portanto
é um divisor comum de
e
. Como
é o maior divisor comum desses dois, vale a identidade de Bézout: existem inteiros
tais que
(Explicando essa identidade: o algoritmo de Euclides garante a existência de tais
; a identidade de Bézout é um teorema clássico que afirma isso. Aqui só usamos que qualquer divisor comum de
e
divide qualquer combinação linear
.)
Como
divide
e
, ele divide qualquer combinação linear deles; em particular
. Então
divide
e também, por hipótese, divide
. Logo
é divisor comum de
, isto é,
Como
foi arbitrário em
, concluímos
Passo 4
Provar
.
Seja
. Então
divide
e divide
. Mas
divide ambos
e
(pois
é um divisor comum de
e
). Assim, se
e
então
; igualmente
. Portanto
divide todos os
(para
), o que significa
.
Como
foi arbitrário, obtemos
Passo 5
Concluir a igualdade dos conjuntos e, daí, dos máximos.
Das inclusões dos Passos 3 e 4 segue que
Como
e
são, por definição, os máximos (os maiores elementos positivos) desses conjuntos idênticos, eles são iguais:
Isto é exatamente o que se pedia demonstrar.