Sejam a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{Z} não todos nulos e D\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) o conjunto dos divisores comuns a todos esses números. Definimos então \left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)= Máx D\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right). Prove que, se a_{1} \neq 0 e \left(a_{1}, a_{2}\right)=d, então temos \left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)=\left(d, a_{3}, \ldots, a_{n}\right).

Passo 1

Vou explicitar o que o enunciado nos dá e o que pede, bem direitinho (peguei todas as informações do enunciado).
  • Dados: a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\in\mathbb{Z}, não todos nulos, com a_{1}\neq0.
  • Definição: D(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}) é o conjunto dos inteiros que dividem simultaneamente todos os a_{i}.
  • Definição: \left(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\right) é o máximo elemento de D(a_{1},\dots,a_{n}) (ou seja, o máximo divisor comum desses números).
  • Hipótese adicional: \left(a_{1},a_{2}\right)=d. Ou seja, d é o máximo divisor comum de a_{1} e a_{2}.
O que o enunciado pede: provar que
\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)=\left(d,a_{3},\ldots,a_{n}\right).
Em outras palavras: trocar a_{1} e a_{2} pelo seu MDC d não altera o MDC de toda a família \{a_{1},\dots,a_{n}\}.

Passo 2

Estratégia clara (sem resolver ainda): é natural comparar os conjuntos de divisores comuns. Se eu mostrar que
D(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})=D(d,a_{3},\dots,a_{n}),
então os máximos desses conjuntos são iguais, logo
\left(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\right)=\left(d,a_{3},\dots,a_{n}\right).
Vou demonstrar a igualdade dos conjuntos mostrando duas inclusões: \subseteq e \supseteq.

Passo 3

Provar D(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})\subseteq D(d,a_{3},\dots,a_{n}).
Seja c um elemento arbitrário de D(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}). Por definição de D(\cdot), isso significa que c divide cada um dos a_{i}, isto é,
c \mid a_{1},\quad c \mid a_{2},\quad c \mid a_{3},\dots,\quad c \mid a_{n}.
Em particular, c divide simultaneamente a_{1} e a_{2}; portanto c é um divisor comum de a_{1} e a_{2}. Como d=\left(a_{1},a_{2}\right) é o maior divisor comum desses dois, vale a identidade de Bézout: existem inteiros x,y tais que
d = x a_{1} + y a_{2}.
(Explicando essa identidade: o algoritmo de Euclides garante a existência de tais x,y; a identidade de Bézout é um teorema clássico que afirma isso. Aqui só usamos que qualquer divisor comum de a_{1} e a_{2} divide qualquer combinação linear x a_{1}+y a_{2}.)
Como c divide a_{1} e a_{2}, ele divide qualquer combinação linear deles; em particular c \mid d. Então c divide d e também, por hipótese, divide a_{3},\dots,a_{n}. Logo c é divisor comum de d,a_{3},\dots,a_{n}, isto é,
c\in D(d,a_{3},\dots,a_{n}).
Como c foi arbitrário em D(a_{1},\dots,a_{n}), concluímos
D(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})\subseteq D(d,a_{3},\dots,a_{n}).

Passo 4

Provar D(d,a_{3},\dots,a_{n})\subseteq D(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}).
Seja c\in D(d,a_{3},\dots,a_{n}). Então c divide d e divide a_{3},\dots,a_{n}. Mas d divide ambos a_{1} e a_{2} (pois d é um divisor comum de a_{1} e a_{2}). Assim, se c\mid d e d\mid a_{1} então c\mid a_{1}; igualmente c\mid a_{2}. Portanto c divide todos os a_{i} (para i=1,\dots,n), o que significa c\in D(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}).
Como c foi arbitrário, obtemos
D(d,a_{3},\dots,a_{n})\subseteq D(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}).

Passo 5

Concluir a igualdade dos conjuntos e, daí, dos máximos.
Das inclusões dos Passos 3 e 4 segue que
D(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})=D(d,a_{3},\dots,a_{n}).
Como \left(a_{1},\dots,a_{n}\right) e \left(d,a_{3},\dots,a_{n}\right) são, por definição, os máximos (os maiores elementos positivos) desses conjuntos idênticos, eles são iguais:
\left(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\right)=\left(d,a_{3},\dots,a_{n}\right).
Isto é exatamente o que se pedia demonstrar.

Resposta

\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)=\left(d,a_{3},\ldots,a_{n}\right)

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