Mostre que, se a, b, x, y \in \mathbb{Z}, \operatorname{com} a x+b y=(a, b), então (x, y)=1.

Passo 1

O enunciado dá que a,b,x,y\in\mathbb{Z} e que
a x + b y = (a,b),
onde (a,b) é o máximo divisor comum de a e b. A pergunta é: provar que
(x,y)=1.
Observação necessária: se (a,b)=0 então a=b=0 e a igualdade fica 0=0, caso em que a conclusão pode falhar (por exemplo, quaisquer x,y servem). Portanto, para que a afirmação faça sentido e seja verdadeira, vamos assumir que (a,b)\neq 0, isto é, que a e b não são ambos zero.

Passo 2

Defina g=(a,b). Por definição de máximo divisor comum, g é um inteiro positivo que divide tanto a quanto b. Logo existem inteiros a_1 e b_1 tais que
a = g a_1,\qquad b = g b_1.
Aqui expliquei por que esses a_1 e b_1 existem: se um inteiro g divide a, então a/g é um inteiro; chamei esse inteiro de a_1 (mesmo para b).

Passo 3

Substituindo a=g a_1 e b=g b_1 na hipótese a x + b y = g obtemos
g a_1 x + g b_1 y = g.
Agrupando,
g\bigl(a_1 x + b_1 y\bigr) = g.
Como assumimos g\neq 0, podemos dividir ambos os lados por g (divisão por zero não é permitida, por isso a observação no Passo 1). Dessa divisão resulta
a_1 x + b_1 y = 1.
Isto é, existe uma combinação inteira de x e y que vale 1.

Passo 4

Mostramos agora que (x,y)=1. Seja d=(x,y) o máximo divisor comum de x e y. Pelo significado de máximo divisor comum, d divide x e d divide y. Logo d divide qualquer combinação inteira de x e y; em particular, d divide
a_1 x + b_1 y.
Mas do Passo 3 sabemos que a_1 x + b_1 y = 1. Logo d divide 1. Os únicos divisores inteiros de 1 são 1 e -1, e o máximo divisor comum é tomado como não negativo, logo d=1. Portanto (x,y)=1.

Passo 5

Resumo da lógica: escrever a e b como múltiplos de g=(a,b), substituir na igualdade dada, dividir por g para obter uma combinação inteira a_1 x + b_1 y = 1, e então usar que qualquer divisor comum de x e y divide essa combinação, forçando-o a ser 1.

Resposta

(x,y)=1

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