Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade
Informações relevantes (assumidas como dadas, pois são padrão neste tipo de exercício):
- A função
é dada por uma série de potências
- Podemos diferenciar a série termo a termo dentro do raio de convergência (regra padrão para séries de potências).
Passo 2
Vou mostrar explicitamente a diferenciação termo a termo. Para fixar a ideia, escrevendo os primeiros termos da série:
Diferenciando termo a termo, cada monômio
dá origem a
.
Passo 3
Aplicando a diferenciação uma vez obtemos
. Escrevendo em soma:
Explicação: o termo constante
some porque sua derivada é zero; os demais termos seguem a regra da potência.
Passo 4
Diferenciando novamente (mais uma vez termo a termo) obtemos
. Cada termo
se transforma em
. Assim:
Observação didática: o somatório começa em
porque para
e
o fator
é zero, logo não contribuem.
Passo 5
Agora multiplico
por
. Isso dá duas parcelas:
Vou escrever cada parcela como soma.
Passo 6
A primeira parcela é simplesmente
já obtida no passo anterior.
A segunda parcela é
. Multiplicar a série por
aumenta o expoente de cada termo em
:
Aqui apenas usamos a propriedade
.
Passo 7
Subtraindo as parcelas conforme
obtemos exatamente
que é a identidade que queríamos mostrar.