Mostre que
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}-\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n} .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}-\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n}.
Informações relevantes (assumidas como dadas, pois são padrão neste tipo de exercício):
  • A função y é dada por uma série de potências
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}.
  • Podemos diferenciar a série termo a termo dentro do raio de convergência (regra padrão para séries de potências).

Passo 2

Vou mostrar explicitamente a diferenciação termo a termo. Para fixar a ideia, escrevendo os primeiros termos da série:
y(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots.
Diferenciando termo a termo, cada monômio a_{n}x^{n} dá origem a n a_{n}x^{n-1}.

Passo 3

Aplicando a diferenciação uma vez obtemos y'. Escrevendo em soma:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{\,n-1}.
Explicação: o termo constante a_{0} some porque sua derivada é zero; os demais termos seguem a regra da potência.

Passo 4

Diferenciando novamente (mais uma vez termo a termo) obtemos y''. Cada termo n a_{n} x^{n-1} se transforma em n(n-1)a_{n} x^{n-2}. Assim:
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{\,n-2}.
Observação didática: o somatório começa em n=2 porque para n=0 e n=1 o fator n(n-1) é zero, logo não contribuem.

Passo 5

Agora multiplico y'' por (1-x^{2}). Isso dá duas parcelas:
(1-x^{2})y''(x)=y''(x)-x^{2}y''(x).
Vou escrever cada parcela como soma.

Passo 6

A primeira parcela é simplesmente
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{\,n-2},
já obtida no passo anterior.
A segunda parcela é x^{2}y''(x). Multiplicar a série por x^{2} aumenta o expoente de cada termo em 2:
x^{2}y''(x)=x^{2}\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{\,n-2} =\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{\,n}.
Aqui apenas usamos a propriedade x^{2}\cdot x^{n-2}=x^{n}.

Passo 7

Subtraindo as parcelas conforme (1-x^{2})y''=y''-x^{2}y'' obtemos exatamente
(1-x^{2})y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{\,n-2}-\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{\,n},
que é a identidade que queríamos mostrar.

Resposta

\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}-\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n}.

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