Mostre que
é a forma reindexada da primeira soma.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a série
é a forma reindexada da “primeira soma”. Vou entender a “primeira soma” como a soma típica que aparece ao diferenciar duas vezes uma série de potências, ou seja
Informações relevantes fornecidas:
- A soma original (que vamos reindexar) é
- A soma que aparece no enunciado é
- O objetivo é transformar a primeira soma por mudança de índice para obter exatamente a segunda soma.
Passo 2
Ideia de reindexação (explicação didática): reindexar uma série significa trocar a variável do somatório (por exemplo trocar
por
) de modo a obter limites e expoentes mais convenientes. Para isso faz-se uma mudança linear de variável do tipo
Quando trocar de variável, é preciso:
- Reescrever o termo genérico
em função de . - Ajustar os limites do somatório: o menor
vira menor , e o infinito permanece infinito. - Opcionalmente renomear
de volta para por simplicidade (isso não altera a soma).
Passo 3
Aplicando a mudança de índice passo a passo.
Começo pela soma original:
Faço a substituição
. Então
. Agora reescrevo o termo genérico em função de
:
Agora ajusto os limites: quando
temos
; quando
temos
. Assim o somatório fica
Finalmente, é costume renomear o índice
de volta para
(a letra do índice é irrelevante), obtendo
que é exatamente a série dada no enunciado.
Passo 4
Observações didáticas e confirmação com exemplo simples:
- A reindexação mostrou termo a termo a igualdade das duas séries; portanto as duas expressões são a mesma série reescrita com um índice diferente.
- Nota sobre validade: esta transformação é puramente algébrica e válida sempre que fizer sentido manipular a série (por exemplo, para séries formais ou dentro do raio de convergência, a igualdade termo a termo vale).
- Exemplo concreto para fixar a ideia: se
para todo , então a primeira soma dá os primeiros termos
ou seja
. A soma reindexada com
dá
mesma sequência de termos — bingo, coincide termo a termo.
Passo 5
Conexão útil (para memorização): se
, então a segunda derivada é
isto é outra situação onde aparece exatamente essa reindexação. Guardar essa relação ajuda a lembrar o padrão.