Mostre que
\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}
é a forma reindexada da primeira soma.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a série
\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}
é a forma reindexada da “primeira soma”. Vou entender a “primeira soma” como a soma típica que aparece ao diferenciar duas vezes uma série de potências, ou seja
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{\,n-2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A soma original (que vamos reindexar) é \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{\,n-2}.
  • A soma que aparece no enunciado é \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}.
  • O objetivo é transformar a primeira soma por mudança de índice para obter exatamente a segunda soma.

Passo 2

Ideia de reindexação (explicação didática): reindexar uma série significa trocar a variável do somatório (por exemplo trocar n por m) de modo a obter limites e expoentes mais convenientes. Para isso faz-se uma mudança linear de variável do tipo
m = n - 2 \quad\text{ou}\quad n = m + 2.
Quando trocar de variável, é preciso:
  1. Reescrever o termo genérico n(n-1)a_n x^{\,n-2} em função de m.
  2. Ajustar os limites do somatório: o menor n vira menor m, e o infinito permanece infinito.
  3. Opcionalmente renomear m de volta para n por simplicidade (isso não altera a soma).

Passo 3

Aplicando a mudança de índice passo a passo.
Começo pela soma original:
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{\,n-2}.
Faço a substituição m = n - 2. Então n = m + 2. Agora reescrevo o termo genérico em função de m:
n(n-1) a_{n} x^{\,n-2} = (m+2)(m+1) a_{m+2} x^{\,m}.
Agora ajusto os limites: quando n=2 temos m=0; quando n\to\infty temos m\to\infty. Assim o somatório fica
\sum_{m=0}^{\infty} (m+2)(m+1) a_{m+2} x^{\,m}.
Finalmente, é costume renomear o índice m de volta para n (a letra do índice é irrelevante), obtendo
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n},
que é exatamente a série dada no enunciado.

Passo 4

Observações didáticas e confirmação com exemplo simples:
  • A reindexação mostrou termo a termo a igualdade das duas séries; portanto as duas expressões são a mesma série reescrita com um índice diferente.
  • Nota sobre validade: esta transformação é puramente algébrica e válida sempre que fizer sentido manipular a série (por exemplo, para séries formais ou dentro do raio de convergência, a igualdade termo a termo vale).
  • Exemplo concreto para fixar a ideia: se a_n=1 para todo n, então a primeira soma dá os primeiros termos
n=2:\;2\cdot1\cdot x^{0}=2,\qquad n=3:\;3\cdot2\cdot x^{1}=6x,\qquad n=4:\;4\cdot3\cdot x^{2}=12x^{2},\dots
ou seja 2+6x+12x^{2}+\cdots. A soma reindexada com a_{n+2}=1
n=0:\;2\cdot1\cdot x^{0}=2,\qquad n=1:\;3\cdot2\cdot x^{1}=6x,\qquad n=2:\;4\cdot3\cdot x^{2}=12x^{2},\dots
mesma sequência de termos — bingo, coincide termo a termo.

Passo 5

Conexão útil (para memorização): se f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n}, então a segunda derivada é
f''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{\,n-2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n},
isto é outra situação onde aparece exatamente essa reindexação. Guardar essa relação ajuda a lembrar o padrão.

Resposta

\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{\,n-2} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}.

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