- Mostre que a Lei de Ohm pode ser representada por ambas as expressões abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a Lei de Ohm pode ser representada por ambas as expressões abaixo:
e
Listei o que temos do enunciado e o que precisamos relacionar:
- Queremos demonstrar a equivalência entre a forma macroscópica
(tensão, resistência e corrente) e a forma microscópica (densidade de corrente, condutividade e campo elétrico). - Não há números nem figura: trata-se de uma relação conceitual/derivação que envolve grandezas geométricas do condutor (comprimento e área), propriedades do material (condutividade/ resistividade) e as definições de
.
Passo 2
Vamos definir claramente cada grandeza, com linguagem direta e sem pular etapas:
-
é a corrente elétrica que atravessa o condutor. Unidade: ampere ( ). -
é a diferença de potencial elétrico (tensão) aplicada entre as extremidades do condutor. Unidade: volt ( ). -
é a resistência elétrica do condutor. Unidade: ohm ( ). -
é a densidade de corrente elétrica, definida como corrente por unidade de área. Unidade: ampere por metro quadrado ( ). -
é o campo elétrico dentro do condutor. Unidade: volt por metro ( ). -
é a condutividade elétrica do material. Unidade: siemens por metro ( ). A condutividade está relacionada à resistividade por , onde tem unidade ohm·metro ( ). - Geometria do condutor (dados que vamos usar): comprimento
(entre os pontos onde se aplica ) e área da secção transversal .
Passo 3
Definição prática de densidade de corrente
:
Por definição, a densidade de corrente é a corrente por unidade de área da secção transversal do condutor. Ou seja,
Por definição, a densidade de corrente é a corrente por unidade de área da secção transversal do condutor. Ou seja,
Expliquei: aqui assumimos que a corrente está uniformemente distribuída na área
(caso comum em problemas básicos). Se a distribuição não for uniforme, a definição é local:
, mas para um fio uniforme usamos a expressão acima.
Passo 4
Relação entre tensão
e campo elétrico
:
Se o campo elétrico dentro do condutor for aproximadamente uniforme (situação padrão para um fio cilíndrico longo e material homogêneo), a diferença de potencial entre as extremidades é o integral do campo ao longo do comprimento. Para campo uniforme,
Se o campo elétrico dentro do condutor for aproximadamente uniforme (situação padrão para um fio cilíndrico longo e material homogêneo), a diferença de potencial entre as extremidades é o integral do campo ao longo do comprimento. Para campo uniforme,
Expliquei: isso vem de
. Se
é constante,
, então
.
Passo 5
Apresentando a forma microscópica da Lei de Ohm e o que ela significa:
A expressão
A expressão
diz que, em um material ôhmico (com comportamento linear), a densidade de corrente é proporcional ao campo elétrico local. A constante de proporcionalidade
é a condutividade do material. Isso é a forma local (microscópica) da Lei de Ohm. A condição implícita é que o material responde linearmente ao campo (região onde a lei de Ohm vale).
Passo 6
Agora vamos combinar as definições de
e
(dos Passos 3 e 4) com a forma microscópica
. Substituindo
e
na relação microscópica:
Expliquei passo a passo: troquei a densidade de corrente e o campo elétrico por expressões macroscópicas em termos de
e
.
Passo 7
Isolando
na equação do Passo 6 para obter a forma macroscópica:
A partir de
A partir de
multiplicamos ambos os lados por
:
Reorganizando:
Comparando com
, vemos que a resistência
é
Passo 8
Relacionando
com resistividade
e interpretando:
Como , substituindo em
obtemos
Como
Explicação física: essa é a fórmula clássica da resistência de um fio homogêneo — maior comprimento
aumenta a resistência, maior área
diminui a resistência, e a propriedade do material entra via
(materiais com pequena
conduzem melhor).
Passo 9
Verificação com um exemplo numérico rápido (só para fixar a ideia):
Considere um fio com ,
(1 mm^2) e resistividade do cobre
. Então
Considere um fio com
Se
, então
. Confira via densidade e campo:
e
. A condutividade é
e
. Beleza: as duas formas coincidem numericamente.
Passo 10
Conclusão didática e observações finais (pontos importantes para prova):
- A forma microscópica
e a forma macroscópica são equivalentes quando se relaciona densidade com corrente total ( ) e campo com tensão média ( ). - A resistência do componente é
. - Condições de validade: material linear (ôhmico), homogêneo, isotrópico e regime estacionário. Se o material for não linear ou o campo não for uniforme, a equivalência simples pode falhar.
- Dica de prova: se pedirem para passar de uma forma para outra, use sempre
e e identifique como ou .
Resposta
As duas expressões são equivalentes. A partir de
com
e
segue
ou seja
com
e
.