1. Mostre que a Lei de Ohm pode ser representada por ambas as expressões abaixo:
\begin{gathered} U=R \cdot I \\ \mathrm{e} \\ J=\sigma \cdot E \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a Lei de Ohm pode ser representada por ambas as expressões abaixo:
U = R \cdot I
e
J = \sigma \cdot E
Listei o que temos do enunciado e o que precisamos relacionar:
  • Queremos demonstrar a equivalência entre a forma macroscópica U=R\cdot I (tensão, resistência e corrente) e a forma microscópica J=\sigma\cdot E (densidade de corrente, condutividade e campo elétrico).
  • Não há números nem figura: trata-se de uma relação conceitual/derivação que envolve grandezas geométricas do condutor (comprimento e área), propriedades do material (condutividade/ resistividade) e as definições de I, J, U, E, R, \sigma.

Passo 2

Vamos definir claramente cada grandeza, com linguagem direta e sem pular etapas:
  • I é a corrente elétrica que atravessa o condutor. Unidade: ampere ( \mathrm{A}).
  • U é a diferença de potencial elétrico (tensão) aplicada entre as extremidades do condutor. Unidade: volt ( \mathrm{V}).
  • R é a resistência elétrica do condutor. Unidade: ohm ( \Omega).
  • J é a densidade de corrente elétrica, definida como corrente por unidade de área. Unidade: ampere por metro quadrado ( \mathrm{A/m^2}).
  • E é o campo elétrico dentro do condutor. Unidade: volt por metro ( \mathrm{V/m}).
  • \sigma é a condutividade elétrica do material. Unidade: siemens por metro ( \mathrm{S/m}). A condutividade está relacionada à resistividade \rho por \sigma = 1/\rho, onde \rho tem unidade ohm·metro ( \Omega\cdot\mathrm{m}).
  • Geometria do condutor (dados que vamos usar): comprimento L (entre os pontos onde se aplica U) e área da secção transversal A.

Passo 3

Definição prática de densidade de corrente J:
Por definição, a densidade de corrente é a corrente por unidade de área da secção transversal do condutor. Ou seja,
J = \frac{I}{A}.
Expliquei: aqui assumimos que a corrente está uniformemente distribuída na área A (caso comum em problemas básicos). Se a distribuição não for uniforme, a definição é local: J(\mathbf{r})=\mathrm{d}I/\mathrm{d}A, mas para um fio uniforme usamos a expressão acima.

Passo 4

Relação entre tensão U e campo elétrico E:
Se o campo elétrico dentro do condutor for aproximadamente uniforme (situação padrão para um fio cilíndrico longo e material homogêneo), a diferença de potencial entre as extremidades é o integral do campo ao longo do comprimento. Para campo uniforme,
E = \frac{U}{L}.
Expliquei: isso vem de U = \int_{0}^{L} E\,\mathrm{d}x. Se E é constante, U = E\cdot L, então E=U/L.

Passo 5

Apresentando a forma microscópica da Lei de Ohm e o que ela significa:
A expressão
J = \sigma \cdot E
diz que, em um material ôhmico (com comportamento linear), a densidade de corrente é proporcional ao campo elétrico local. A constante de proporcionalidade \sigma é a condutividade do material. Isso é a forma local (microscópica) da Lei de Ohm. A condição implícita é que o material responde linearmente ao campo (região onde a lei de Ohm vale).

Passo 6

Agora vamos combinar as definições de J e E (dos Passos 3 e 4) com a forma microscópica J=\sigma E. Substituindo J=\dfrac{I}{A} e E=\dfrac{U}{L} na relação microscópica:
\frac{I}{A} = \sigma \cdot \frac{U}{L}.
Expliquei passo a passo: troquei a densidade de corrente e o campo elétrico por expressões macroscópicas em termos de I e U.

Passo 7

Isolando U na equação do Passo 6 para obter a forma macroscópica:
A partir de
\frac{I}{A} = \sigma \cdot \frac{U}{L},
multiplicamos ambos os lados por \dfrac{L}{\sigma}:
\frac{L}{\sigma}\cdot\frac{I}{A} = U.
Reorganizando:
U = \left(\frac{L}{\sigma A}\right) I.
Comparando com U = R \cdot I, vemos que a resistência R é
R = \frac{L}{\sigma A}.

Passo 8

Relacionando R com resistividade \rho e interpretando:
Como \sigma = 1/\rho, substituindo em R=\dfrac{L}{\sigma A} obtemos
R = \frac{L}{(1/\rho) A} = \frac{\rho L}{A}.
Explicação física: essa é a fórmula clássica da resistência de um fio homogêneo — maior comprimento L aumenta a resistência, maior área A diminui a resistência, e a propriedade do material entra via \rho (materiais com pequena \rho conduzem melhor).

Passo 9

Verificação com um exemplo numérico rápido (só para fixar a ideia):
Considere um fio com L=1\,\mathrm{m}, A=1{,}0\times 10^{-6}\,\mathrm{m^2} (1 mm^2) e resistividade do cobre \rho=1{,}7\times10^{-8}\,\Omega\cdot\mathrm{m}. Então
R=\frac{\rho L}{A}=\frac{1{,}7\times10^{-8}\,\Omega\cdot\mathrm{m}\times 1\,\mathrm{m}}{1{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{m^2}}=1{,}7\times10^{-2}\,\Omega.
Se I=1\,\mathrm{A}, então U=R I=1{,}7\times10^{-2}\,\mathrm{V}. Confira via densidade e campo: J=I/A=1/(1{,}0\times10^{-6})=1{,}0\times10^{6}\,\mathrm{A/m^2} e E=U/L=1{,}7\times10^{-2}\,\mathrm{V/m}. A condutividade é \sigma=1/\rho\approx5{,}88\times10^{7}\,\mathrm{S/m} e \sigma E\approx5{,}88\times10^{7}\cdot1{,}7\times10^{-2}\approx1{,}0\times10^{6}\,\mathrm{A/m^2}=J. Beleza: as duas formas coincidem numericamente.

Passo 10

Conclusão didática e observações finais (pontos importantes para prova):
  • A forma microscópica J=\sigma E e a forma macroscópica U=R I são equivalentes quando se relaciona densidade com corrente total ( J=I/A) e campo com tensão média ( E=U/L).
  • A resistência do componente é R=\dfrac{\rho L}{A}=\dfrac{L}{\sigma A}.
  • Condições de validade: material linear (ôhmico), homogêneo, isotrópico e regime estacionário. Se o material for não linear ou o campo não for uniforme, a equivalência simples pode falhar.
  • Dica de prova: se pedirem para passar de uma forma para outra, use sempre J=I/A e E=U/L e identifique R como L/(\sigma A) ou \rho L/A.

Resposta

As duas expressões são equivalentes. A partir de J=\sigma E com J=\dfrac{I}{A} e E=\dfrac{U}{L} segue
U=\left(\frac{L}{\sigma A}\right)I,
ou seja U=R I com R=\dfrac{L}{\sigma A}=\dfrac{\rho L}{A} e \sigma=\dfrac{1}{\rho}.

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