Mostre que ( \leq ) é uma relação de equivalência.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a relação \le é uma relação de equivalência. Vou entender que estamos olhando para a relação
R=\{(a,b)\in S\times S \mid a\le b\}
num conjunto S (por exemplo S=\mathbb{R}, mas a análise vale para qualquer S com uma ordem \le).
As perguntas claras são:
  • A relação \le satisfaz as três propriedades exigidas para ser relação de equivalência? Ou seja, é reflexiva, simétrica e transitiva?
  • Se não for em geral, em que casos especiais ela seria uma relação de equivalência?
As informações úteis dadas (implícitas) são as propriedades usuais da ordem \le: para quaisquer a,b,c\in S vale que a\le a (reflexividade típica), se a\le b e b\le a então a=b (antissimetria), e se a\le b e b\le c então a\le c (transitividade).

Passo 2

Vou relembrar o que significa “relação de equivalência” de forma bem direta e prática:
  • Reflexiva: para todo a\in S deve valer aRa (aqui, a\le a).
  • Simétrica: para todo a,b\in S, se aRb então bRa (aqui, se a\le b então b\le a).
  • Transitiva: para todo a,b,c\in S, se aRb e bRc então aRc (aqui, se a\le b e b\le c então a\le c).
Para que \le seja equivalência precisamos que as três condições acima sejam verdadeiras simultaneamente.

Passo 3

Verificando a reflexividade da relação \le.
Explicação didática: a propriedade reflexiva é a mais simples — toda ordem total ou parcial satisfaz que um elemento é menor ou igual a ele mesmo. Formalmente, para qualquer a\in S temos
a\le a.
Portanto \le é reflexiva.

Passo 4

Verificando a transitividade da relação \le.
Explicação didática: a ordem \le também tem a propriedade transitiva por definição: se a\le b e b\le c, então a\le c. Assim, para quaisquer a,b,c\in S,
\text{se }a\le b\text{ e }b\le c\text{ então }a\le c.ã
Logo \le é transitiva.

Passo 5

Verificando a simetria da relação \le — aqui é o ponto crítico.
Explicação didática: simetria exige que sempre que a\le b também valha b\le a. Mas isso não é verdade em geral para \le. Um contraexemplo simples (que você pode usar na prova) é tomar S=\mathbb{R}, a=1, b=2. Então
1\le 2
é verdadeiro, mas
2\le 1
é falso. Portanto \le não é simétrica em geral. Como a simetria falha, \le não é uma relação de equivalência em conjuntos com pelo menos dois elementos distintos.
(Respira fundo — isso é normal: \le é feita para ordenar, não para agrupar em classes de equivalência.)

Passo 6

Análise dos casos excepcionais em que \le poderia ser equivalência.
Explicação didática e raciocínio lógico: suponha que, num certo conjunto S, a relação \le fosse simétrica além de já ser reflexiva e transitiva. Então para quaisquer a,b\in S teríamos
a\le b \implies b\le a.
Mas juntando isso com a antissimetria natural da ordem ( a\le b e b\le a implicam a=b), concluímos que sempre que a\le b devemos ter a=b. Em particular, para quaisquer a,b\in S teríamos a=b. Isso só é possível se o conjunto S tiver no máximo um elemento distinto.
Agora verificar os dois casos possíveis com |S|\le 1:
  • Se S=\varnothing (conjunto vazio): todas as propriedades (reflexiva, simétrica, transitiva) são verdadeiras trivialmente (vacuamente). Logo \le é relação de equivalência em \varnothing.
  • Se S=\{x\} (singleton): para os únicos a,b\in S temos a=b=x, então x\le x e a simetria e transitividade também são satisfeitas. Logo \le é relação de equivalência em qualquer conjunto com exatamente um elemento.
Conclusão lógica: \le só pode ser uma relação de equivalência caso |S|\le 1. Para conjuntos com dois ou mais elementos distintos, \le não é uma relação de equivalência (porque falha a simetria).

Passo 7

Recapitulando e fechando com esperança: vimos passo a passo que \le é sempre reflexiva e transitiva, mas normalmente não é simétrica (contraexemplo 1\le 2 mas não 2\le 1). Portanto, em geral \le não é uma relação de equivalência. Só em casos triviais — conjunto vazio ou singleton — a relação \le torna-se equivalência.

Resposta

\le não é, em geral, uma relação de equivalência; ela é relação de equivalência somente se o conjunto S tiver no máximo um elemento (isto é, |S|\le 1).