Mostre que (
) é uma relação de equivalência.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a relação
é uma relação de equivalência. Vou entender que estamos olhando para a relação
num conjunto
(por exemplo
, mas a análise vale para qualquer
com uma ordem
).
As perguntas claras são:
As perguntas claras são:
- A relação
satisfaz as três propriedades exigidas para ser relação de equivalência? Ou seja, é reflexiva, simétrica e transitiva? - Se não for em geral, em que casos especiais ela seria uma relação de equivalência?
As informações úteis dadas (implícitas) são as propriedades usuais da ordem
: para quaisquer
vale que
(reflexividade típica), se
e
então
(antissimetria), e se
e
então
(transitividade).
Passo 2
Vou relembrar o que significa “relação de equivalência” de forma bem direta e prática:
- Reflexiva: para todo
deve valer (aqui, ). - Simétrica: para todo
, se então (aqui, se então ). - Transitiva: para todo
, se e então (aqui, se e então ).
Para que
seja equivalência precisamos que as três condições acima sejam verdadeiras simultaneamente.
Passo 3
Verificando a reflexividade da relação
.
Explicação didática: a propriedade reflexiva é a mais simples — toda ordem total ou parcial satisfaz que um elemento é menor ou igual a ele mesmo. Formalmente, para qualquer
temos
Portanto
é reflexiva.
Passo 4
Verificando a transitividade da relação
.
Explicação didática: a ordem
também tem a propriedade transitiva por definição: se
e
, então
. Assim, para quaisquer
,
Logo
é transitiva.
Passo 5
Verificando a simetria da relação
— aqui é o ponto crítico.
Explicação didática: simetria exige que sempre que
também valha
. Mas isso não é verdade em geral para
. Um contraexemplo simples (que você pode usar na prova) é tomar
,
,
. Então
é verdadeiro, mas
é falso. Portanto
não é simétrica em geral. Como a simetria falha,
não é uma relação de equivalência em conjuntos com pelo menos dois elementos distintos.
(Respira fundo — isso é normal:
é feita para ordenar, não para agrupar em classes de equivalência.)
Passo 6
Análise dos casos excepcionais em que
poderia ser equivalência.
Explicação didática e raciocínio lógico: suponha que, num certo conjunto
, a relação
fosse simétrica além de já ser reflexiva e transitiva. Então para quaisquer
teríamos
Mas juntando isso com a antissimetria natural da ordem (
e
implicam
), concluímos que sempre que
devemos ter
. Em particular, para quaisquer
teríamos
. Isso só é possível se o conjunto
tiver no máximo um elemento distinto.
Agora verificar os dois casos possíveis com
:
- Se
(conjunto vazio): todas as propriedades (reflexiva, simétrica, transitiva) são verdadeiras trivialmente (vacuamente). Logo é relação de equivalência em . - Se
(singleton): para os únicos temos , então e a simetria e transitividade também são satisfeitas. Logo é relação de equivalência em qualquer conjunto com exatamente um elemento.
Conclusão lógica:
só pode ser uma relação de equivalência caso
. Para conjuntos com dois ou mais elementos distintos,
não é uma relação de equivalência (porque falha a simetria).
Passo 7
Recapitulando e fechando com esperança: vimos passo a passo que
é sempre reflexiva e transitiva, mas normalmente não é simétrica (contraexemplo
mas não
). Portanto, em geral
não é uma relação de equivalência. Só em casos triviais — conjunto vazio ou singleton — a relação
torna-se equivalência.