Seja
não vazio e limitado superiormente, e seja
. Mostre que existe uma sequência
de elementos de
tal que
Passo 1
O enunciado diz que
é não vazio e limitado superiormente, e que
. Queremos mostrar que existe uma sequência
com
para todo
e tal que
O conteúdo usado é a definição de supremum e a construção de sequências usando aproximações arbitrárias.
Passo 2
Pela definição de supremum, temos duas propriedades:
-
é um limite superior de , logo vale . - Dado qualquer
, existe algum elemento tal que
Passo 3
Para construir a sequência, escolhemos
para cada inteiro
. Pela propriedade 2, existe
tal que
Isso garante
.
Passo 4
Vamos verificar que
. Note que, para todo
,
Como
quando
, pelo teorema do confronto segue
Passo 5
Concluímos que a sequência
, onde cada
satisfaz
, converge para
.
Resposta
Basta tomar uma sequência
tal que
então
.