Seja S \subset \mathbb{R} não vazio e limitado superiormente, e seja M=\sup S. Mostre que existe uma sequência \left(x_{n}\right) de elementos de S tal que
\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=M .

Passo 1

O enunciado diz que S\subset\mathbb{R} é não vazio e limitado superiormente, e que M=\sup S. Queremos mostrar que existe uma sequência \bigl(x_n\bigr) com x_n\in S para todo n e tal que
\lim_{n\to\infty}x_n = M.
O conteúdo usado é a definição de supremum e a construção de sequências usando aproximações arbitrárias.

Passo 2

Pela definição de supremum, temos duas propriedades:
  1. M é um limite superior de S, logo \forall x\in S vale x\le M.
  2. Dado qualquer \varepsilon>0, existe algum elemento x\in S tal que
x > M - \varepsilon.

Passo 3

Para construir a sequência, escolhemos \varepsilon_n = \tfrac1n para cada inteiro n\ge1. Pela propriedade 2, existe x_n\in S tal que
x_n > M - \frac1n.
Isso garante M - \tfrac1n < x_n \le M.

Passo 4

Vamos verificar que x_n\to M. Note que, para todo n,
0 \;\le\; M - x_n \;<\;\frac1n.
Como \frac1n\to0 quando n\to\infty, pelo teorema do confronto segue
M - x_n \;\longrightarrow\;0 \quad\Longrightarrow\quad x_n \;\longrightarrow\;M.

Passo 5

Concluímos que a sequência \bigl(x_n\bigr), onde cada x_n\in S satisfaz M - \tfrac1n < x_n\le M, converge para M.

Resposta

Basta tomar uma sequência \bigl(x_n\bigr)\subset S tal que
M - \frac1n < x_n \le M,
então \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n = M.

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