Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, vamos trabalhar com limites e funções trigonométricas, especificamente o cosseno. Para resolver, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta e aplicar o Teorema do Sanduíche.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função cosseno sempre está entre -1 e 1 para qualquer valor de entrada. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar todos os três lados dessa desigualdade por
. Como
é sempre positivo, a desigualdade mantém a direção:
Passo 4
Em seguida, vamos analisar o limite das expressões dos dois lados quando
se aproxima de 0. Sabemos que:
Passo 5
Com isso, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Apertação), se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Portanto:
Resposta
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