Mostre que lim x 0 x^2 cos (1x^5)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0 x^2 cos (1x^5) = 0. Aqui, vamos trabalhar com limites e funções trigonométricas, especificamente o cosseno. Para resolver, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta e aplicar o Teorema do Sanduíche.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função cosseno sempre está entre -1 e 1 para qualquer valor de entrada. Ou seja:
-1 <= cos(1x^5) <= 1

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos os três lados dessa desigualdade por x^2. Como x^2 é sempre positivo, a desigualdade mantém a direção:
- x^2 <= x^2 cos(1x^5) <= x^2

Passo 4

Em seguida, vamos analisar o limite das expressões dos dois lados quando x se aproxima de 0. Sabemos que:
limx to 0 -x^2 = 0 e limx to 0 x^2 = 0

Passo 5

Com isso, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Apertação), se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Portanto:
limx to 0 x^2 cos(1x^5) = 0

Resposta

0

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