Questão 13. Resolva as integrais das funções racionais:

Passo 1

Resumo do enunciado: a integral que precisamos resolver é
integral 5x^3 + 12x^3 -5x^2 +4x,dx,
que é uma função racional. Vamos usar divisão de polinômios para separar a parte inteira e depois decompor em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, fazemos a divisão do numerador pelo denominador. Como ambos têm grau 3, o quociente é 5. Multiplicando e subtraindo, obtemos:
5x^3 + 12 = 5l(x^3 -5x^2 +4xr) + l(25x^2 -20x +12r)
Logo,
5x^3 +12x(x-1)(x-4) = 5 + 25x^2 -20x +12x(x-1)(x-4)

Passo 3

Agora decompondo a parte restante em frações parciais. Escrevemos
25x^2 -20x +12x(x-1)(x-4) = Ax + Bx-1 + Cx-4
Multiplicando por x(x-1)(x-4) e igualando coeficientes, dá:
25x^2 -20x +12 = A(x-1)(x-4) + Bx(x-4) + Cx(x-1)

Passo 4

Igualando coeficientes obtemos o sistema:
A + B + C = 25, -5A -4B -C = -20, 4A = 12
Da última equação vem A=3. Substituindo nas duas primeiras, achamos B = -tfrac173 e C = tfrac833.

Passo 5

Com esses valores, a integral vira
integral 5x^3 +12x^3 -5x^2 +4x,dx = integral 5,dx + integral l(3x - 17/3x-1 + 83/3x-4r) dx
Integrando termo a termo,
5x + 3ln|x| - 173ln|x-1| + 833ln|x-4| + C

Resposta

5x + 3\ln|x| - \frac{17}{3}\ln|x-1| + \frac{83}{3}\ln|x-4| + C

Exercícios relacionados