Questão 13. Resolva as integrais das funções racionais:
Passo 1
Resumo do enunciado: a integral que precisamos resolver é
que é uma função racional. Vamos usar divisão de polinômios para separar a parte inteira e depois decompor em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, fazemos a divisão do numerador pelo denominador. Como ambos têm grau 3, o quociente é 5. Multiplicando e subtraindo, obtemos:
Logo,
Passo 3
Agora decompondo a parte restante em frações parciais. Escrevemos
Multiplicando por
e igualando coeficientes, dá:
Passo 4
Igualando coeficientes obtemos o sistema:
Da última equação vem
A=3 . Substituindo nas duas primeiras, achamos
B = -tfrac173 e
C = tfrac833 .
Passo 5
Com esses valores, a integral vira
Integrando termo a termo,
Resposta
5x + 3\ln|x| - \frac{17}{3}\ln|x-1| + \frac{83}{3}\ln|x-4| + C