Prove que a cúbica retorcida,
sigma(t) = t i + t^2 j + t^3 k
se t != 0, nenhum par de vetores entre sigma(t), V(t) e A(t) é ortogonal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, na cúbica retorcida definida por , quando , nenhum par de vetores entre , e é ortogonal. Ou seja, precisamos mostrar que o produto escalar entre cada par desses vetores nunca dá zero. Para resolver isso, vamos precisar entender derivadas de vetores e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores envolvidos. Temos , que já está dada. Os outros dois vetores são , que é a velocidade, ou seja, a primeira derivada de em relação a , e , que é a aceleração, a segunda derivada de .

Passo 3

Vamos calcular a velocidade . Para isso, derivamos cada componente de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a aceleração , que é a derivada de :

Passo 5

Vamos agora verificar os produtos escalares para ver se algum deles é igual a zero. Primeiro, calculamos :
Para , esse valor nunca é zero porque todos os termos são positivos ou negativos, mas somados nunca cancelam para zero.

Passo 6

Em seguida, calculamos :
Novamente, para , essa expressão é sempre positiva, então nunca é zero.

Passo 7

Por último, vamos calcular :
Para , essa soma nunca é zero porque tanto quanto têm o mesmo sinal e somam um valor diferente de zero.

Resposta

Portanto, demonstramos que para , nenhum par de vetores entre , e é ortogonal.

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