Mostre que
Se lim x a f(x)=L e g: R R é contínua em L, então lim x a(g circ f)(x)=g(L)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se limxto af(x)=L e g é contínua em L, então limxto a(gcirc f)(x)=g(L). Vamos usar definições de limite e de continuidade por varepsilon- de.

Passo 2

Como g é contínua em L, temos: para todo varepsilon>0 existe de0 tal que sempre que |u-L| então |g(u)-g(L)|.

Passo 3

Como limxto af(x)=L, para esse mesmo de0 existe de0 tal que sempre que |x-a| então |f(x)-L|.

Passo 4

Agora, escolhendo de, sempre que |x-a| teremos |f(x)-L| e, pela continuidade de g, segue |g(f(x))-g(L)|.

Resposta

Portanto, limxto a(gcirc f)(x)=g(L).

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