Mostre que
. (Sugestão: Faça
e reescreva o limite na variável
. A seguir, conclua que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, em ordem:
-
Mostrar que
.
Aqui é necessário assumir que(para que esteja definido). Observe que, se , a expressão é e , então a igualdade vale trivialmente; a demonstração abaixo cobre o caso geral . -
A seguir, concluir que
.
Essa é uma aplicação direta do resultado anterior tomando.
Informações dadas: a função exponencial com base
e a sugestão do enunciado de fazer a substituição
. A tarefa é reescrever o limite usando
e avaliá-lo, provando a igualdade com
.
Passo 2
Faço a substituição sugerida. Defina
Quando
temos
, então
. Agora escrevo
em função de
. Pela definição de logaritmo na base
,
Usando a relação entre logaritmos naturais e logaritmos na base
,
Portanto
Passo 3
Reescrevo a expressão do limite em termos de
. Note que
Substituindo
obtido no passo anterior,
Logo
Para concluir precisamos avaliar
. Equivalente é calcular
e inverter o resultado.
Passo 4
Mostro que
. Para isso lembro que, para
,
e a função
é decrescente em
. Vou considerar os dois casos
e
.
- Caso
. Para temos
Integrando em
de
a
obtém-se
Dividindo por
,
Ao fazer
, ambos os limites das extremidades vão para
, logo
.
- Caso
. Para (note que agora o intervalo vai de até ) a monotonicidade dá
Integrando de
até
e lembrando que
(essa integral é negativa), obtém-se a mesma desigualdade em valor absoluto que conduz a
Agora
, mas dividindo por
(divisão por número negativo inverte as desigualdades) dá
Ao fazer
, novamente os dois extremos tendem a
, logo
.
Combinando os dois casos segue que
Portanto
Passo 5
Voltando ao passo 3, como
, concluímos
Passo 6
Aplicação para
. Como
, substituindo
no resultado anterior obtemos