Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas/claras no enunciado:
- A variável
aproxima-se de . - A expressão é uma potência com base
e expoente .
O objetivo é obter o valor numérico desse limite.
Passo 2
Estratégia (por que usar essa ideia). Uma técnica muito útil para limites que envolvem potências é aplicar o logaritmo natural para “trazer” o expoente para fora da potência, transformar produtos/potências em somas e usar a continuidade da função exponencial no final. Vou reescrever a expressão como uma exponencial:
A vantagem é que agora basta calcular o limite do argumento do
; como
é contínua, o limite da exponencial será a exponencial do limite do argumento (quando este limite existir e for finito).
Passo 3
Reescrevendo explicitamente e isolando o limite interno:
Portanto precisamos calcular
Se encontrarmos
, então o limite pedido será
.
Passo 4
Calcular cada parcela do limite
.
- Limite de
quando .
Verificamos que tanto o numerador quanto o denominador vão para
, então temos uma forma indeterminada
. Aplicando a regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador) obtemos:
- derivada do numerador
é , - derivada do denominador
é .
Logo
(Como alternativa intuitiva, pode-se lembrar que
para
pequeno, o que dá a razão aproximada
.)
- Limite de
quando .
A função
é contínua em
e
, então
Somando as parcelas:
Passo 5
Aplicando a continuidade da exponencial: como o argumento tende a
,
Observação adicional (intuição extra): pode-se também ver
onde
e
, dando o mesmo resultado
.