Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}+5}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}+5}.
Informações dadas/claras no enunciado:
  • A variável x aproxima-se de 0.
  • A expressão é uma potência com base 1+x e expoente \dfrac{1}{x}+5.
    O objetivo é obter o valor numérico desse limite.

Passo 2

Estratégia (por que usar essa ideia). Uma técnica muito útil para limites que envolvem potências é aplicar o logaritmo natural para “trazer” o expoente para fora da potência, transformar produtos/potências em somas e usar a continuidade da função exponencial no final. Vou reescrever a expressão como uma exponencial:
(1+x)^{\frac{1}{x}+5}=\exp\!\left(\left(\frac{1}{x}+5\right)\ln(1+x)\right).
A vantagem é que agora basta calcular o limite do argumento do \exp; como \exp é contínua, o limite da exponencial será a exponencial do limite do argumento (quando este limite existir e for finito).

Passo 3

Reescrevendo explicitamente e isolando o limite interno:
(1+x)^{\frac{1}{x}+5}=\exp\!\left(\frac{\ln(1+x)}{x}+5\ln(1+x)\right).
Portanto precisamos calcular
L=\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln(1+x)}{x}+5\ln(1+x)\right).
Se encontrarmos L, então o limite pedido será \exp(L).

Passo 4

Calcular cada parcela do limite L.
  1. Limite de \dfrac{\ln(1+x)}{x} quando x\to0.
Verificamos que tanto o numerador quanto o denominador vão para 0, então temos uma forma indeterminada 0/0. Aplicando a regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador) obtemos:
  • derivada do numerador \ln(1+x) é \dfrac{1}{1+x},
  • derivada do denominador x é 1.
Logo
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1+0}=1.
(Como alternativa intuitiva, pode-se lembrar que \ln(1+x)\approx x para x pequeno, o que dá a razão aproximada 1.)
  1. Limite de 5\ln(1+x) quando x\to0.
A função \ln(1+x) é contínua em 0 e \ln(1+0)=0, então
\lim_{x\to0}5\ln(1+x)=5\cdot 0=0.
Somando as parcelas:
L=1+0=1.

Passo 5

Aplicando a continuidade da exponencial: como o argumento tende a L=1,
\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}+5}=\exp(L)=\exp(1)=e.
Observação adicional (intuição extra): pode-se também ver
(1+x)^{\frac{1}{x}+5}=(1+x)^{\frac{1}{x}}\cdot(1+x)^5,
onde \lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e e \lim_{x\to0}(1+x)^5=1, dando o mesmo resultado e.

Resposta

e

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