Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz da equação no intervalo especificado.
\\sqrt[3]{x}=2 x (0 ; 1)

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando o Teorema do Valor Intermediário, que a equação
\sqrt[3]{x}=2x
tem pelo menos uma raiz no intervalo (0,1).
Informações dadas:
  • A incógnita é x e o intervalo onde devemos garantir a existência de uma raiz é (0,1).
  • A função envolvida combina a raiz cúbica de x e a função linear 2x.

Passo 2

Vamos transformar a equação em um problema de encontrar zeros de uma função. Defino
f(x)=\sqrt[3]{x}-2x.
Prova necessária: mostrar que existe c\in(0,1) tal que f\text{(c)}=0.

Passo 3

Enunciado do Teorema do Valor Intermediário (TVI), numa forma útil para nós:
Se uma função f é contínua num intervalo fechado [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou um deles é zero), então existe c\in(a,b) com f\text{(c)}=0.
Explicação didática das hipóteses:
  • "Contínua em [a,b]" significa que não há saltos ou quebras entre a e b; intuitivamente a curva de f vai de f(a) até f(b) sem pular.
  • Se f(a) e f(b) têm sinais opostos (um positivo e outro negativo), então a curva, ao passar de um valor positivo para um negativo, tem de cruzar o eixo x em algum ponto intermediário — é essa cruzada que garante a existência de uma raiz.

Passo 4

Verifico a continuidade de f: a função x\mapsto \sqrt[3]{x}=x^{1/3} é contínua para todo x\in\mathbb{R} (potência com expoente fixo racional com denominador ímpar é contínua), e x\mapsto 2x é polinomial, logo contínua. A diferença de funções contínuas é contínua; portanto f é contínua em todo \mathbb{R} e, em particular, em qualquer intervalo fechado contido em (0,1).

Passo 5

Agora escolho dois pontos dentro de (0,1) de maneira conveniente para avaliar f e detectar mudança de sinal. Tomo
a=\tfrac{1}{8},\qquad b=\tfrac{1}{2},
ambos pertencentes a (0,1). Como f é contínua em [a,b], podemos aplicar o TVI se f(a) e f(b) tiverem sinais opostos.
Calculo f(a):
f\!\left(\tfrac{1}{8}\right)=\sqrt[3]{\tfrac{1}{8}}-2\cdot\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}>0.
Analiso f(b):
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt[3]{\tfrac{1}{2}}-2\cdot\tfrac{1}{2}=\sqrt[3]{\tfrac{1}{2}}-1.
Observação simples: \sqrt[3]{\tfrac{1}{2}}<1 porque \left(\sqrt[3]{\tfrac{1}{2}}\right)^3=\tfrac{1}{2}<1. Portanto
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt[3]{\tfrac{1}{2}}-1<0.
Concluímos que f\!\left(\tfrac{1}{8}\right)>0 e f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)<0, ou seja, há mudança de sinal entre a e b.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário à função f contínua no intervalo fechado [\tfrac{1}{8},\tfrac{1}{2}], e usando que f(\tfrac{1}{8})>0 e f(\tfrac{1}{2})<0, obtemos que existe c\in\big(\tfrac{1}{8},\tfrac{1}{2}\big) tal que f\text{(c)}=0.
Como \big(\tfrac{1}{8},\tfrac{1}{2}\big)\subset(0,1), esse c pertence ao intervalo pedido.

Resposta

Existe c\in(0,1) tal que \sqrt[3]{c}=2c.

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