Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz da equação no intervalo especificado.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando o Teorema do Valor Intermediário, que a equação
tem pelo menos uma raiz no intervalo
.
Informações dadas:
- A incógnita é
e o intervalo onde devemos garantir a existência de uma raiz é . - A função envolvida combina a raiz cúbica de
e a função linear .
Passo 2
Vamos transformar a equação em um problema de encontrar zeros de uma função. Defino
Prova necessária: mostrar que existe
tal que
.
Passo 3
Enunciado do Teorema do Valor Intermediário (TVI), numa forma útil para nós:
Se uma função é contínua num intervalo fechado
e
e
têm sinais opostos (ou um deles é zero), então existe
com
.
Se uma função
Explicação didática das hipóteses:
- "Contínua em
" significa que não há saltos ou quebras entre e ; intuitivamente a curva de vai de até sem pular. - Se
e têm sinais opostos (um positivo e outro negativo), então a curva, ao passar de um valor positivo para um negativo, tem de cruzar o eixo em algum ponto intermediário — é essa cruzada que garante a existência de uma raiz.
Passo 4
Verifico a continuidade de
: a função
é contínua para todo
(potência com expoente fixo racional com denominador ímpar é contínua), e
é polinomial, logo contínua. A diferença de funções contínuas é contínua; portanto
é contínua em todo
e, em particular, em qualquer intervalo fechado contido em
.
Passo 5
Agora escolho dois pontos dentro de
de maneira conveniente para avaliar
e detectar mudança de sinal. Tomo
ambos pertencentes a
. Como
é contínua em
, podemos aplicar o TVI se
e
tiverem sinais opostos.
Calculo
:
Analiso
:
Observação simples:
porque
. Portanto
Concluímos que
e
, ou seja, há mudança de sinal entre
e
.
Passo 6
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário à função
contínua no intervalo fechado
, e usando que
e
, obtemos que existe
tal que
.
Como
, esse
pertence ao intervalo pedido.
Resposta
Existe
tal que
.