Mostre que \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{3}+\operatorname{sen}(x)+\cos (x)}{x^{3}}=2

Passo 1

O problema pede calcular o seguinte limite quando x tende para -\infty:
\lim_{x\to -\infty} \frac{2x^{3}+\sin(x)+\cos(x)}{x^{3}}.
Informações dadas:
  • O numerador é 2x^{3}+\sin(x)+\cos(x).
  • O denominador é x^{3}.
  • A direção do limite é x\to -\infty (ou seja, |x|\to+\infty com x negativo).
    A pergunta explícita é: mostrar que esse limite é igual a 2.

Passo 2

Primeiro, faço uma álgebra simples para separar termos e deixar claro o que preciso estudar:
\frac{2x^{3}+\sin(x)+\cos(x)}{x^{3}} = \frac{2x^{3}}{x^{3}} + \frac{\sin(x)}{x^{3}} + \frac{\cos(x)}{x^{3}} = 2 + \frac{\sin(x)}{x^{3}} + \frac{\cos(x)}{x^{3}}.
Explicação didática: aqui usei a propriedade da divisão distributiva sobre soma (podemos dividir cada termo do numerador por x^{3}) — isso é permitido sempre que x^{3}\neq 0. Como estamos estudando x\to -\infty, estamos longe de 0, então não há problema. Para concluir o limite, basta determinar o comportamento dos dois últimos termos \dfrac{\sin(x)}{x^{3}} e \dfrac{\cos(x)}{x^{3}} quando x\to -\infty.

Passo 3

Vou mostrar que \dfrac{\sin(x)}{x^{3}}\to 0 quando x\to -\infty.
Teoria útil (em linguagem simples): funções trigonométricas \sin(x) e \cos(x) são sempre limitadas; em particular
-1 \le \sin(x) \le 1\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Logo, em valor absoluto,
\left|\frac{\sin(x)}{x^{3}}\right| = \frac{|\sin(x)|}{|x|^{3}} \le \frac{1}{|x|^{3}}.
Agora, observe que quando x\to -\infty temos |x|\to +\infty, e é um fato simples (e fácil de justificar) que
\frac{1}{|x|^{3}}\longrightarrow 0 \quad\text{quando }|x|\to+\infty.
Por comparação (ou pelo Teorema do Confronto / Squeeze), se um termo absoluto é menor ou igual a outro que tende a 0, então esse termo também tende a 0. Portanto
\frac{\sin(x)}{x^{3}}\longrightarrow 0 \quad\text{quando }x\to -\infty.

Passo 4

De forma análoga, trato \dfrac{\cos(x)}{x^{3}}.
Sabemos que -1 \le \cos(x) \le 1 para todo x, então
\left|\frac{\cos(x)}{x^{3}}\right| = \frac{|\cos(x)|}{|x|^{3}} \le \frac{1}{|x|^{3}}.
Pelo mesmo raciocínio do passo anterior, \dfrac{1}{|x|^{3}}\to 0 quando x\to -\infty. Assim, por comparação,
\frac{\cos(x)}{x^{3}}\longrightarrow 0 \quad\text{quando }x\to -\infty.

Passo 5

Agora uso a propriedade de limites que diz: se f(x)\to a, g(x)\to b e h(x)\to c quando x\to -\infty, então f(x)+g(x)+h(x)\to a+b+c.
Aplicando isso à decomposição do Passo 2:
2 + \frac{\sin(x)}{x^{3}} + \frac{\cos(x)}{x^{3}} \longrightarrow 2 + 0 + 0 = 2 \quad\text{quando }x\to -\infty.
Portanto o limite pedido é 2.

Resposta

2

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