Explicação didática: aqui usei a propriedade da divisão distributiva sobre soma (podemos dividir cada termo do numerador por x^{3}) — isso é permitido sempre que x^{3}\neq 0. Como estamos estudando x\to -\infty, estamos longe de 0, então não há problema. Para concluir o limite, basta determinar o comportamento dos dois últimos termos \dfrac{\sin(x)}{x^{3}} e \dfrac{\cos(x)}{x^{3}} quando x\to -\infty.
Passo 3
Vou mostrar que \dfrac{\sin(x)}{x^{3}}\to 0 quando x\to -\infty.
Teoria útil (em linguagem simples): funções trigonométricas \sin(x) e \cos(x) são sempre limitadas; em particular
-1 \le \sin(x) \le 1\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Por comparação (ou pelo Teorema do Confronto / Squeeze), se um termo absoluto é menor ou igual a outro que tende a 0, então esse termo também tende a 0. Portanto