Calcule \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right) \quad \mathrm{R}: 0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Queremos calcular o limite \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right).
  • Informação útil que já temos (fatos reconhecidos que vêm do enunciado ou do conhecimento básico):
    • A função \operatorname{sen}(t) (seno) é sempre limitada entre -1 e 1: para todo t real vale -1 \le \operatorname{sen}(t) \le 1.
    • Para todo x real, \;x^{2}\ge 0.
  • A pergunta concreta: qual é o valor do limite quando x tende a 0?

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: o Teorema do Confronto (Teorema do Squeeze). Vou explicar ele com calma:
  • Enunciado do teorema (versão que usaremos): se existem duas funções g(x) e h(x) tais que, numa vizinhança de a (exceto talvez em a), vale g(x)\le f(x)\le h(x),e se \displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L, então \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=L.
  • O que isso significa em palavras simples: se uma função fica sempre “espremida” entre duas outras que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite.
  • Por que é útil aqui: a parte \operatorname{sen}(1/x) oscila muito quando x se aproxima de 0, mas é limitada entre -1 e 1. Se conseguirmos “espremer” x^{2}\operatorname{sen}(1/x) entre duas funções que tendem a um mesmo número quando x\to0, podemos concluir o limite.

Passo 3

Aplicando a desigualdade do seno e multiplicando por x^{2}:
  • Sabemos que, para todo número real t, -1 \le \operatorname{sen}(t) \le 1.
  • Substituindo t=\dfrac{1}{x} obtemos, para todo x\neq 0, -1 \le \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1.
  • Como x^{2}\ge 0, ao multiplicar a desigualdade inteira por x^{2} (multiplicação por um número não negativo preserva as desigualdades) chega-se a -x^{2} \le x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right) \le x^{2}.
  • Esta é a “aperto” (squeeze) que precisamos: a função x^{2}\operatorname{sen}(1/x) fica sempre entre -x^{2} e x^{2} quando x está próximo de 0.

Passo 4

Calcular os limites das funções que servem de limite inferior e superior:
  • \displaystyle\lim_{x\to 0} (-x^{2}) = 0, porque \lim_{x\to 0} x^{2}=0 (polinômios são contínuos e x^{2} é pequeno quando x é pequeno).
  • \displaystyle\lim_{x\to 0} x^{2} = 0.
Portanto ambas as funções que “apertam” a nossa ficam com limite 0 quando x\to 0.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto e conclusão:
  • Temos, para x próximo de 0, -x^{2} \le x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right) \le x^{2},e sabemos que os limites dos dois extremos são 0.
  • Pelo Teorema do Confronto, segue que \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.
  • Intuição rápida: x^{2} vai a 0 muito rápido; multiplicando esse número pequeno por uma oscilação que nunca passa de -1 a 1 faz com que o produto vá para zero.

Passo 6

Observação alternativa (forma curta e útil em prova):
  • Usando valor absoluto, \left|x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)\right| = x^{2}\left|\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right)\right| \le x^{2}\cdot 1 = x^{2}.Como \lim_{x\to 0} x^{2}=0, temos \lim_{x\to 0} \left|x^{2}\operatorname{sen}(1/x)\right|=0. Logo \lim_{x\to 0} x^{2}\operatorname{sen}(1/x)=0.
  • Dica de prova: essa forma pelo valor absoluto é muitas vezes mais rápida e elegante.

Resposta

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