Calcule
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Queremos calcular o limite
. - Informação útil que já temos (fatos reconhecidos que vêm do enunciado ou do conhecimento básico):
- A função
(seno) é sempre limitada entre e : para todo real vale . - Para todo
real, .
- A função
- A pergunta concreta: qual é o valor do limite quando
tende a ?
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: o Teorema do Confronto (Teorema do Squeeze). Vou explicar ele com calma:
- Enunciado do teorema (versão que usaremos): se existem duas funções
e tais que, numa vizinhança de (exceto talvez em ), vale e se , então . - O que isso significa em palavras simples: se uma função fica sempre “espremida” entre duas outras que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite.
- Por que é útil aqui: a parte
oscila muito quando se aproxima de , mas é limitada entre e . Se conseguirmos “espremer” entre duas funções que tendem a um mesmo número quando , podemos concluir o limite.
Passo 3
Aplicando a desigualdade do seno e multiplicando por
:
- Sabemos que, para todo número real
, - Substituindo
obtemos, para todo , - Como
, ao multiplicar a desigualdade inteira por (multiplicação por um número não negativo preserva as desigualdades) chega-se a - Esta é a “aperto” (squeeze) que precisamos: a função
fica sempre entre e quando está próximo de .
Passo 4
Calcular os limites das funções que servem de limite inferior e superior:
-
, porque (polinômios são contínuos e é pequeno quando é pequeno). -
.
Portanto ambas as funções que “apertam” a nossa ficam com limite
quando
.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Confronto e conclusão:
- Temos, para
próximo de , e sabemos que os limites dos dois extremos são . - Pelo Teorema do Confronto, segue que
- Intuição rápida:
vai a muito rápido; multiplicando esse número pequeno por uma oscilação que nunca passa de a faz com que o produto vá para zero.
Passo 6
Observação alternativa (forma curta e útil em prova):
- Usando valor absoluto,
Como , temos . Logo . - Dica de prova: essa forma pelo valor absoluto é muitas vezes mais rápida e elegante.
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