Informações dadas e o que precisamos: a função considerada é \dfrac{1+3\cos^{2}(x)}{x^{2}+1}. Queremos o valor do limite quando x tende para +\infty. Não há restrição sobre x; a expressão está bem definida para todo x\in\mathbb{R} porque x^{2}+1>0.
Passo 2
Primeiro vamos usar uma propriedade simples do cosseno. Para todo x vale
-1\le \cos(x)\le 1.
Elevando ao quadrado (isso preserva a desigualdade porque todos os termos ficam não negativos) obtemos
0\le \cos^{2}(x)\le 1.
Agora multiplico por 3 e somo 1 em todos os termos para obter um limite para o numerador:
1\le 1+3\cos^{2}(x)\le 4.
Passo 3
Como x^{2}+1>0 para todo x, posso dividir todas as partes da desigualdade anterior por x^{2}+1 sem trocar o sinal:
Aplicando o Teorema do Confronto (também chamado de Teorema do Sanduíche): se g(x)\le f(x)\le h(x) para todo x em algum intervalo e \lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}h(x)=L, então \lim_{x\to\infty}f(x)=L. Aqui g(x)=\dfrac{1}{x^{2}+1}, f(x)=\dfrac{1+3\cos^{2}(x)}{x^{2}+1} e h(x)=\dfrac{4}{x^{2}+1}, e ambos g e h têm limite 0. Portanto
(Se quiser uma versão com \varepsilon para ver que é formal: dado \varepsilon>0 basta escolher M>\sqrt{\dfrac{4}{\varepsilon}-1}. Para x>M tem \dfrac{4}{x^{2}+1}<\varepsilon e, pelo passo 3, \left|\dfrac{1+3\cos^{2}(x)}{x^{2}+1}-0\right|\le \dfrac{4}{x^{2}+1}<\varepsilon. Assim a definição \varepsilon-M de limite é satisfeita.)