Mostre que o \lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{x^{2}+x^{3}} \cdot e^{\sin \left(\frac{\pi}{x}\right)}=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2}+x^{3}}\;\exp\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{x})\bigr).
Isso envolve uma função oscilante \exp(\sin(\pi/x)) e um fator que se anula em zero, \sqrt{x^2+x^3}. Vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) para mostrar que o produto tende a zero.

Passo 2

Reescrevemos o radical de forma mais clara:
\sqrt{x^2+x^3} = \sqrt{x^2(1+x)} = |x|\;\sqrt{1+x}.
Como estudamos x \to 0, para x suficientemente perto de zero temos 1+x>0 e portanto \sqrt{1+x} é bem definida e tende a 1.

Passo 3

Observamos que \sin(\tfrac{\pi}{x}) está sempre entre -1 e 1. Aplicando a exponencial, obtemos o encadeamento de desigualdades
e^{-1} \;\le\; e^{\sin(\tfrac{\pi}{x})} \;\le\; e^{1}.

Passo 4

Multiplicando as desigualdades do passo anterior por |x|\sqrt{1+x}\ge0, chega-se a
|x|\sqrt{1+x}\,e^{-1} \;\le\; \bigl|\sqrt{x^2+x^3}\,e^{\sin(\tfrac{\pi}{x})}\bigr|\;\le\; |x|\sqrt{1+x}\,e.

Passo 5

Agora analisamos o limite dos extremos quando x\to0:
\lim_{x\to0}|x|\sqrt{1+x}\,e^{-1} = e^{-1}\;\lim_{x\to0}|x|\sqrt{1+x} = e^{-1}\cdot0\cdot1 =0
e igualmente
\lim_{x\to0}|x|\sqrt{1+x}\,e = e\cdot0\cdot1 = 0.
Pelo Teorema do Confronto, a expressão intermediária também tende a zero.

Resposta

\lim_{x \rightarrow 0} \sqrt{x^{2}+x^{3}}\;e^{\sin(\frac{\pi}{x})} = 0.

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