Mostre que o \lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{x^{2}+x^{3}} \cdot e^{\sin \left(\frac{\pi}{x}\right)}=0 Passo 1O enunciado pede para calcular \lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2}+x^{3}}\;\exp\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{x})\bigr). Isso envolve uma função oscilante \exp(\sin(\pi/x)) e um fator que se anula em zero, \sqrt{x^2+x^3}. Vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) para mostrar que o produto tende a zero. Passo 2Reescrevemos o radical de forma mais clara: \sqrt{x^2+x^3} = \sqrt{x^2(1+x)} = |x|\;\sqrt{1+x}. Como estudamos x \to 0, para x suficientemente perto de zero temos 1+x>0 e portanto \sqrt{1+x} é bem definida e tende a 1. Passo 3Observamos que \sin(\tfrac{\pi}{x}) está sempre entre -1 e 1. Aplicando a exponencial, obtemos o encadeamento de desigualdades e^{-1} \;\le\; e^{\sin(\tfrac{\pi}{x})} \;\le\; e^{1}. Passo 4Multiplicando as desigualdades do passo anterior por |x|\sqrt{1+x}\ge0, chega-se a |x|\sqrt{1+x}\,e^{-1} \;\le\; \bigl|\sqrt{x^2+x^3}\,e^{\sin(\tfrac{\pi}{x})}\bigr|\;\le\; |x|\sqrt{1+x}\,e. Passo 5Agora analisamos o limite dos extremos quando x\to0: \lim_{x\to0}|x|\sqrt{1+x}\,e^{-1} = e^{-1}\;\lim_{x\to0}|x|\sqrt{1+x} = e^{-1}\cdot0\cdot1 =0 e igualmente \lim_{x\to0}|x|\sqrt{1+x}\,e = e\cdot0\cdot1 = 0. Pelo Teorema do Confronto, a expressão intermediária também tende a zero. Resposta \lim_{x \rightarrow 0} \sqrt{x^{2}+x^{3}}\;e^{\sin(\frac{\pi}{x})} = 0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosUsando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1-\operatorname{sen} x+\cos x}{-1+\operatorname{sen} x+\cos x} Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{3}} \frac{\operatorname{sen}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{1-2 \cos x} Use o Teorema do Confronto para calcular \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}, em que f(x)=\left\{\begin{array}{rll} x^{3} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right), & \text { se } & x \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } & x=0 \end{array}\right. Use o Teorema do Confronto para calcular \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}, em que f(x)=\left\{\begin{array}{rll} x^{3} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right), & \text { se } & x \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } & x=0 \end{array}\right.