Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1-\operatorname{sen} x+\cos x}{-1+\operatorname{sen} x+\cos x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin x+\cos x}{-1+\sin x+\cos x}.
O conteúdo principal é cálculo de limites e, ao notar que a substituição direta leva à forma indeterminada 0/0, vamos usar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Substituindo x=\frac{\pi}{2} diretamente, temos \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1 e \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
O numerador torna-se
1-1+0=0
e o denominador torna-se
-1+1+0=0.
Portanto obtemos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Pela regra de L’Hôpital, diferenciamos numerador e denominador em relação a x:
– Derivada do numerador 1-\sin x+\cos x é -\cos x-\sin x.
– Derivada do denominador -1+\sin x+\cos x é \cos x-\sin x.

Passo 4

Agora calculamos o limite da razão das derivadas substituindo x=\tfrac{\pi}{2}. O numerador vale -\cos(\tfrac{\pi}{2})-\sin(\tfrac{\pi}{2})=-1 e o denominador vale \cos(\tfrac{\pi}{2})-\sin(\tfrac{\pi}{2})=-1.
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{-\cos x-\sin x}{\cos x-\sin x} =\frac{-1}{-1}=1.

Resposta

1

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