Use o Teorema do Confronto para calcular \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}, em que
f(x)=\left\{\begin{array}{rll} x^{3} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right), & \text { se } & x \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } & x=0 \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}\)
onde
\[f(x)= \begin{cases} x^{3}\sin\bigl(\tfrac1x\bigr),&x\neq0,\\\\ 0,&x=0. \end{cases}
Isso é justamente a definição do derivada de f\] em \(0. Vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) para avaliar esse limite.