Use o Teorema do Confronto para calcular \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}, em que
f(x)=\left\{\begin{array}{rll} x^{3} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right), & \text { se } & x \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } & x=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}\) onde \[f(x)= \begin{cases} x^{3}\sin\bigl(\tfrac1x\bigr),&x\neq0,\\\\ 0,&x=0. \end{cases}
Isso é justamente a definição do derivada de f\] em \(0. Vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) para avaliar esse limite.

Passo 2

Primeiro escrevemos o quociente de diferença:
\frac{f(x)-f(0)}{x} =\frac{x^{3}\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)-0}{x} =x^{2}\,\sin\bigl(\tfrac1x\bigr).

Passo 3

Como para todo t vale -1\le\sin(t)\le1, temos para x\neq0:
-x^{2}\le x^{2}\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)\le x^{2}.

Passo 4

Agora observamos que
\lim_{x\to0}(-x^{2})=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}x^{2}=0.
Pelo Teorema do Confronto segue que \displaystyle \lim_{x\to0}x^{2}\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)=0.

Resposta

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