Mostre que
lim x 0 x^2 sen(1x)sen(x)=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto0x^2,senl(tfrac1xr)sen(x)
O conteúdo principal aqui é limite envolvendo a função seno e uma função oscilante sen(1/x). Para resolver vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze) e o limite conhecido
limxto0sen(x)x=1

Passo 2

Primeiro observamos que sen(1/x) é sempre limitada entre -1 e 1, ou seja,
-1<= senl(tfrac1xr)<= 1
Isso implica
l|senl(tfrac1xr)r|<= 1

Passo 3

Como limxto0sen(x)x=1, existe de<a>0 tal que, para 0<|x|<de<a, valha
l|sen(x)xr|>tfrac12 Longrightarrow |sen(x)|>tfrac12,|x|
Logo, para 0<|x|<de<a temos
l|x^2,senl(tfrac1xr)sen(x)r| <= x^2,l|sen(tfrac1x)r||sen(x)| <= x^2tfrac12,|x| =2,|x|

Passo 4

Como 2,|x|to0 quando xto0, pelo Teorema do Confronto segue que
limxto0x^2,senl(tfrac1xr)sen(x)=0

Resposta

0

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