Mostre que
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\operatorname{sen}(x y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\operatorname{sen}(xy)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
O conteúdo é limite de função de duas variáveis em um ponto e vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem) combinado com desigualdades conhecidas: \bigl|\operatorname{sen} t\bigr|\le|t| e a desigualdade entre média aritmética e geométrica.

Passo 2

Usamos primeiro a desigualdade padrão para o seno:
|\operatorname{sen}(xy)| \le |xy|.
Dividindo por \sqrt{x^2+y^2}, obtemos
\left|\frac{\operatorname{sen}(xy)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \le \frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 3

Aplicamos a desigualdade entre média aritmética e geométrica:
|xy| \le \frac{x^2 + y^2}{2}.
Logo,
\frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}} \le \frac{\frac{x^2+y^2}{2}}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{1}{2}\,\sqrt{x^2+y^2}.

Passo 4

Juntando as desigualdades, para todo (x,y)\neq(0,0),
\left|\frac{\operatorname{sen}(xy)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \le \frac{1}{2}\,\sqrt{x^2+y^2}.
Como \sqrt{x^2+y^2}\to0 quando (x,y)\to(0,0), o lado direito tende a 0. Pelo Teorema do Confronto, conclui-se que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\operatorname{sen}(xy)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.

Resposta

0

Exercícios relacionados