Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de f f(x, y)=y^{2}
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função de duas variáveis
z = f(x,y) = y^2
usando as curvas de nível de f. O conteúdo é geometria de superfícies em \mathbb{R}^3 e o que precisamos é encontrar as curvas de nível (seções horizontais) e interpretar como elas se “erguem” no espaço para formar a superfície.
Passo 2
As curvas de nível são dadas por
f(x,y)=c \quad\Longrightarrow\quad y^2 = c.
Para c<0 não há soluções reais. Para c\ge0, obtemos
y = +\sqrt{c} \quad\text{e}\quad y = -\sqrt{c}.
No plano xy são, portanto, duas retas horizontais paralelas ao eixo x, situadas em y=\pm\sqrt{c}.
Passo 3
Cada curva de nível y=\pm\sqrt{c} em z=0 se projeta no gráfico para a interseção com o plano z=c. Logo, a seção da superfície pelo plano horizontal z=c é a união das retas
Outra forma de ver a superfície é notar que, para cada valor fixo y=y_0,
z=y_0^2
é constante, e o gráfico nessa reta é uma linha paralela ao eixo x na altura z=y_0^2. Logo, a superfície inteira é obtida ao “arrastar” a parábola z=y^2 (no plano xz com x=0) ao longo do eixo x. Isso caracteriza um cilindro parabólico com diretriz no plano yz e geratrizes paralelas ao eixo x.
Resposta
O gráfico de z=y^2 é um cilindro parabólico que se abre para cima, simétrico em relação ao plano y=0, obtido pela translação da parábola z=y^2 no plano yz ao longo do eixo x. As curvas de nível são retas y=\pm\sqrt{c} elevadas ao plano z=c.