Use a "Regra dos dois caminhos"para mostrar que os limites indicados abaixo não existem
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x-y}{x^{2}+y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
f(x,y)=\frac{x-y}{x^{2}+y}
não tem limite quando (x,y)\to(0,0), usando a ideia de dois caminhos distintos no plano. O conteúdo aqui é teoria de limites de funções de duas variáveis e a “regra dos dois caminhos”: se ao aproximar por duas curvas conseguimos valores diferentes, o limite não existe.

Passo 2

Escolhemos a reta y=x. Substituindo,
f(x,x)=\frac{x-x}{x^{2}+x}=\frac{0}{x(x+1)}=0
para todo x\neq0. Logo,
\lim_{x\to0}f(x,x)=0.

Passo 3

Agora escolhemos o eixo y=0. Substituindo,
f(x,0)=\frac{x-0}{x^{2}+0}=\frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x}.
Mas sabemos que
\lim_{x\to0}\frac{1}{x}
é divergente (vai a +\infty quando x\to0^+ e a -\infty quando x\to0^-). Em particular, esse resultado não é igual a 0.

Passo 4

Como ao longo de y=x obtemos limite 0 e ao longo de y=0 obtemos divergência, os dois caminhos dão comportamentos diferentes. Portanto, pelo critério dos dois caminhos, o limite de f(x,y) em (0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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