Mostre que
\lim _{z \rightarrow z_{0}} f(z) g(z)=0 \text { se } \lim _{z \rightarrow \pm \infty} f(z)=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{z\to z_{0}} f(z)\,g(z)=0
dado que
\lim_{z\to \pm\infty} f(z)=0.
Vou trabalhar com a forma mais usual e útil dessa afirmação em análise complexa: assumir que f(z)\to 0 quando z\to z_{0} (ou quando z\to\infty, dependendo do contexto) e que g é limitada (isto é, existe um número real M tal que |g(z)|\le M em uma vizinhança apropriada de z_{0} ou para |z| grande). Essas hipóteses são necessárias: sem algum controle sobre g a conclusão pode falhar.
Informações relevantes dadas/assumidas:
  • Temos uma função f que tende a 0 (no ponto considerado: z_0 ou \pm\infty — vou explicar os dois casos).
  • Temos uma função g que, para a conclusão, deve ser limitada na vizinhança do ponto onde avaliamos o limite (ou limitada para |z| grandes, no caso infinito).
  • Objetivo: provar que o produto f g tende a 0.

Passo 2

Lembrando a definição precisa de limite (o que vamos usar no argumento \varepsilon- \delta). Para um ponto finito z_{0}:
  • Dizer que \displaystyle \lim_{z\to z_{0}} f(z)=0 significa: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|z-z_{0}|<\delta, temos |f(z)-0|=|f(z)|<\varepsilon.
Para o caso do infinito:
  • Dizer que \displaystyle \lim_{z\to\infty} f(z)=0 significa: para todo \varepsilon>0 existe R>0 tal que, sempre que |z|>R, temos |f(z)|<\varepsilon.
Vamos usar essas definições para construir a prova do produto.

Passo 3

Explicar por que precisamos de g limitada. Se g não for limitada, mesmo que f(z)\to0 o produto pode não tender a zero; exemplo simples (no real, mas vale como intuição): f(x)=1/x\to0 quando x\to\infty, mas se g(x)=x então f(x)g(x)=1\not\to0. Portanto é natural e necessário assumir que existe uma constante M tal que |g(z)|\le M na região onde estudamos o limite.
Formalmente, assumo:
  • Caso ponto finito: existe \delta_{0}>0 e M>0 tais que |g(z)|\le M para todos z com 0<|z-z_{0}|<\delta_{0}.
  • Caso infinito: existe R>0 e M>0 tais que |g(z)|\le M para todos z com |z|>R.

Passo 4

Prova usando \varepsilon- \delta (caso ponto finito z_{0}). Seja \varepsilon>0 dado. Como \lim_{z\to z_{0}} f(z)=0, existe \delta_{1}>0 tal que
0<|z-z_{0}|<\delta_{1}\quad\Rightarrow\quad |f(z)|<\frac{\varepsilon}{M},
onde M é a constante que limita |g(z)| na vizinhança (isto é, |g(z)|\le M para 0<|z-z_{0}|<\delta_{0}). Agora escolha \delta=\min(\delta_{0},\delta_{1}). Então, sempre que 0<|z-z_{0}|<\delta vale:
|f(z)g(z)| = |f(z)|\,|g(z)| \le |f(z)|\cdot M < \frac{\varepsilon}{M}\cdot M = \varepsilon.
Isso mostra, pela definição de limite, que \displaystyle \lim_{z\to z_{0}} f(z)g(z)=0.

Passo 5

Prova do mesmo resultado no caso z\to\infty. Seja \varepsilon>0. Como \lim_{z\to\infty} f(z)=0, existe R_{1}>0 tal que |z|>R_{1}\Rightarrow |f(z)|<\varepsilon/M. Como |g(z)|\le M para |z|>R_{0} (hipótese de limitade de g para grandes |z|), tome R=\max(R_{0},R_{1}). Então para |z|>R,
|f(z)g(z)|\le |f(z)|\cdot M < \frac{\varepsilon}{M}\cdot M = \varepsilon.
Logo \displaystyle \lim_{z\to\infty} f(z)g(z)=0.

Passo 6

Interpretação em termos de sequências (uma visão alternativa, muitas vezes mais intuitiva). Se z_{n}\to z_{0} e f(z_{n})\to 0, e se g(z_{n}) é uma sequência limitada (isto é, existe M com |g(z_{n})|\le M para todo n), então f(z_{n})g(z_{n})\to 0 porque |f(z_{n})g(z_{n})|\le |f(z_{n})|M\to 0. A prova por sequências é frequentemente útil em análise complexa porque limite de função equivale a limite em todas as sequências convergentes.

Passo 7

Observações finais e exemplos para fixar:
  • Resumindo: a conclusão só é garantida se além de f(z)\to 0 houver controle sobre g (por exemplo, g limitada perto do ponto de interesse). Sem essa hipótese o produto pode não tender a zero.
  • Exemplo prático: se f(z)=1/z e g(z)=1 quando z\to\infty, então f(z)\to0 e g é limitada, logo f(z)g(z)\to0. Mas se g(z)=z, então g não é limitada e f(z)g(z)=1\not\to0.
  • Moral: ir ao \varepsilon- \delta e usar a desigualdade |f g|\le |f|\,|g| junto com uma cota de |g| é a receita padrão.

Resposta

\displaystyle \lim_{z\to z_{0}} f(z)g(z)=0

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