Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
dado que
Vou trabalhar com a forma mais usual e útil dessa afirmação em análise complexa: assumir que
quando
(ou quando
, dependendo do contexto) e que
é limitada (isto é, existe um número real
tal que
em uma vizinhança apropriada de
ou para
grande). Essas hipóteses são necessárias: sem algum controle sobre
a conclusão pode falhar.
Informações relevantes dadas/assumidas:
Informações relevantes dadas/assumidas:
- Temos uma função
que tende a (no ponto considerado: ou — vou explicar os dois casos). - Temos uma função
que, para a conclusão, deve ser limitada na vizinhança do ponto onde avaliamos o limite (ou limitada para grandes, no caso infinito). - Objetivo: provar que o produto
tende a .
Passo 2
Lembrando a definição precisa de limite (o que vamos usar no argumento
-
). Para um ponto finito
:
- Dizer que
significa: para todo existe tal que, sempre que , temos .
Para o caso do infinito:
- Dizer que
significa: para todo existe tal que, sempre que , temos .
Vamos usar essas definições para construir a prova do produto.
Passo 3
Explicar por que precisamos de
limitada. Se
não for limitada, mesmo que
o produto pode não tender a zero; exemplo simples (no real, mas vale como intuição):
quando
, mas se
então
. Portanto é natural e necessário assumir que existe uma constante
tal que
na região onde estudamos o limite.
Formalmente, assumo:
- Caso ponto finito: existe
e tais que para todos com . - Caso infinito: existe
e tais que para todos com .
Passo 4
Prova usando
-
(caso ponto finito
). Seja
dado. Como
, existe
tal que
onde
é a constante que limita
na vizinhança (isto é,
para
). Agora escolha
. Então, sempre que
vale:
Isso mostra, pela definição de limite, que
.
Passo 5
Prova do mesmo resultado no caso
. Seja
. Como
, existe
tal que
. Como
para
(hipótese de limitade de
para grandes
), tome
. Então para
,
Logo
.
Passo 6
Interpretação em termos de sequências (uma visão alternativa, muitas vezes mais intuitiva). Se
e
, e se
é uma sequência limitada (isto é, existe
com
para todo
), então
porque
. A prova por sequências é frequentemente útil em análise complexa porque limite de função equivale a limite em todas as sequências convergentes.
Passo 7
Observações finais e exemplos para fixar:
- Resumindo: a conclusão só é garantida se além de
houver controle sobre (por exemplo, limitada perto do ponto de interesse). Sem essa hipótese o produto pode não tender a zero. - Exemplo prático: se
e quando , então e é limitada, logo . Mas se , então não é limitada e . - Moral: ir ao
- e usar a desigualdade junto com uma cota de é a receita padrão.