Use o teorema da Seção 24 para mostrar que cada uma dessas funções é derivável no domínio de definição indicado e encontre
.
;
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede duas coisas: mostrar que
é derivável em cada ponto do domínio
e encontrar
.
As informações relevantes: a função é o recíproco da função e o domínio exclui
(onde
seria zero).
As informações relevantes: a função é o recíproco da função
Passo 2
Vou usar o teorema (da Seção 24) que diz o seguinte — explicando passo a passo e provando a ideia principal:
Teorema (regra do recíproco). Se
é diferenciável em
e
, então a função
é diferenciável em
e
Prova rápida (pela definição de derivada). Começamos com a diferença quociente de
:
Se
é diferenciável em
, o último fator tende a
quando
. Além disso, se
então
é contínua e
, então
. Combinando limites:
Isso mostra que
é diferenciável em
e dá a fórmula acima. Fim da demonstração do teorema.
Passo 3
Aplicando o teorema: identifique
. Para usar o teorema precisamos de
diferenciável e
. Em nosso domínio
temos
, então falta apenas lembrar que
é diferenciável em todo
(polinômios são diferenciáveis). Para ser bem explícito, calculemos
pelo limite (ou pelo binômio):
Expansão:
Dividindo por
e passando
obtemos
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula do recíproco com
e
. Temos, para
,
Também podemos escrever
e aplicar a regra de potência para obter o mesmo resultado
.
Passo 5
Resumo didático rápido para a prova (como lembrar): quando tiver
e
, use
Para polinômios use a regra de potência (ou a expansão pelo binômio) para calcular
facilmente. Aqui
e o resultado segue.