Use o teorema da Seção 24 para mostrar que cada uma dessas funções é derivável no domínio de definição indicado e encontre f^{\prime}(z).
f(z)=1 / z^{4} \quad(z \neq 0);

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(z)=\frac{1}{z^{4}},\qquad z\neq 0,
e pede duas coisas: mostrar que f é derivável em cada ponto do domínio \{z\in\mathbb{C}: z\neq 0\} e encontrar f'(z).
As informações relevantes: a função é o recíproco da função g(z)=z^{4} e o domínio exclui z=0 (onde g seria zero).

Passo 2

Vou usar o teorema (da Seção 24) que diz o seguinte — explicando passo a passo e provando a ideia principal:
Teorema (regra do recíproco). Se g é diferenciável em z e g(z)\neq 0, então a função h(w)=1/g(w) é diferenciável em z e
h'(z)=-\frac{g'(z)}{(g(z))^{2}}.
Prova rápida (pela definição de derivada). Começamos com a diferença quociente de h:
\frac{h(z+h)-h(z)}{h}=\frac{\dfrac{1}{g(z+h)}-\dfrac{1}{g(z)}}{h} =\frac{g(z)-g(z+h)}{h\,g(z+h)g(z)} =-\frac{1}{g(z+h)g(z)}\cdot\frac{g(z+h)-g(z)}{h}.
Se g é diferenciável em z, o último fator tende a g'(z) quando h\to0. Além disso, se g(z)\neq0 então g é contínua e g(z+h)\to g(z)\neq0, então \dfrac{1}{g(z+h)g(z)}\to\dfrac{1}{(g(z))^{2}}. Combinando limites:
\lim_{h\to0}\frac{h(z+h)-h(z)}{h}=-\frac{g'(z)}{(g(z))^{2}}.
Isso mostra que h é diferenciável em z e dá a fórmula acima. Fim da demonstração do teorema.

Passo 3

Aplicando o teorema: identifique g(z)=z^{4}. Para usar o teorema precisamos de g diferenciável e g(z)\neq 0. Em nosso domínio z\neq 0 temos g(z)=z^{4}\neq 0, então falta apenas lembrar que g é diferenciável em todo \mathbb{C} (polinômios são diferenciáveis). Para ser bem explícito, calculemos g'(z) pelo limite (ou pelo binômio):
Expansão:
(z+h)^{4}-z^{4}=4z^{3}h+6z^{2}h^{2}+4z h^{3}+h^{4}.
Dividindo por h e passando h\to0 obtemos
g'(z)=\lim_{h\to0}\frac{(z+h)^{4}-z^{4}}{h}=4z^{3}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do recíproco com g(z)=z^{4} e g'(z)=4z^{3}. Temos, para z\neq 0,
f'(z)=-\frac{g'(z)}{(g(z))^{2}} =-\frac{4z^{3}}{(z^{4})^{2}} =-\frac{4z^{3}}{z^{8}} =-\frac{4}{z^{5}}.
Também podemos escrever f(z)=z^{-4} e aplicar a regra de potência para obter o mesmo resultado f'(z)=-4z^{-5}.

Passo 5

Resumo didático rápido para a prova (como lembrar): quando tiver f(z)=1/g(z) e g(z)\neq0, use
f'(z)=-\frac{g'(z)}{(g(z))^{2}}.
Para polinômios use a regra de potência (ou a expansão pelo binômio) para calcular g'(z) facilmente. Aqui g(z)=z^{4}\Rightarrow g'(z)=4z^{3} e o resultado segue.

Resposta

f'(z)=-\frac{4}{z^{5}},\qquad z\neq 0

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