Use a definição (3) da Seção 19 para demonstrar diretamente que
\frac{d w}{d z}=2 z \quad \text { se } \quad w=z^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • Pedido: demonstrar diretamente, usando a definição (3) da Seção 19, que a derivada de w em relação a z é 2z quando w=z^{2}.
  • Dado: a função w é definida por w(z)=z^{2}.
  • Informação que vamos usar (definição (3) da Seção 19): a derivada de uma função complexa f em um ponto z é dada por
f'(z)=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z},
desde que esse limite exista (isto é, exista e seja o mesmo independentemente de como \Delta z tende a 0 no plano complexo).
Observações sobre símbolos:
  • \Delta z é um pequeno incremento complexo em z. Dizer \Delta z \to 0 significa |\Delta z|\to 0.
  • A expressão que vamos estudar é o quociente incremental \dfrac{w(z+\Delta z)-w(z)}{\Delta z} e seu limite quando \Delta z tende a zero.

Passo 2

Calcular explicitamente o quociente incremental para w(z)=z^{2}.
Escrevemos o quociente:
\frac{w(z+\Delta z)-w(z)}{\Delta z}=\frac{(z+\Delta z)^{2}-z^{2}}{\Delta z}.
Agora expandimos o numerador passo a passo. Multiplicando (z+\Delta z)(z+\Delta z) (a multiplicação em \mathbb{C} segue as mesmas regras algébricas dos reais):
(z+\Delta z)^{2}=z^{2}+2z\,\Delta z+(\Delta z)^{2}.
Substituindo na expressão do quociente:
\frac{(z+\Delta z)^{2}-z^{2}}{\Delta z}=\frac{z^{2}+2z\,\Delta z+(\Delta z)^{2}-z^{2}}{\Delta z}.
Cancelamos z^{2} no numerador e simplificamos:
\frac{(z+\Delta z)^{2}-z^{2}}{\Delta z}=\frac{2z\,\Delta z+(\Delta z)^{2}}{\Delta z}.
Fatorando \Delta z no numerador e dividindo:
\frac{2z\,\Delta z+(\Delta z)^{2}}{\Delta z}=2z+\Delta z.
Portanto o quociente incremental fica explicitamente igual a 2z+\Delta z para todo \Delta z\neq 0.

Passo 3

Aplicar a definição de derivada (tomar o limite quando \Delta z\to 0) e justificar por que o limite existe.
Pela definição,
\lim_{\Delta z\to 0}\frac{w(z+\Delta z)-w(z)}{\Delta z}=\lim_{\Delta z\to 0}\bigl(2z+\Delta z\bigr).
Aqui é útil lembrar propriedades simples de limites complexos:
  • Se uma sequência (ou variável) complexa \Delta z tende a 0 no plano, então \Delta z tende a 0 independentemente do caminho (direção) escolhido; dizer \Delta z\to 0 significa |\Delta z|\to 0.
  • O limite da soma é a soma dos limites quando estes existem. 2z é constante em relação a \Delta z, logo seu limite é 2z. O limite de \Delta z quando \Delta z\to 0 é 0.
Portanto
\lim_{\Delta z\to 0}\bigl(2z+\Delta z\bigr)=2z+0=2z.
Esse argumento vale para qualquer maneira de fazer \Delta z\to 0 (pela reta real, pela reta imaginária, por qualquer curva): o termo residual \Delta z sempre tende a zero, então o limite é independente da direção. Assim o limite existe e vale 2z.

Passo 4

Interpretação didática curta (como aplicar isso numa prova).
  • Regra prática: para polinômios complexos a derivação funciona como no caso real termo a termo. Aqui z^{2} produz 2z porque o quociente incremental se reduz a 2z+\Delta z, e o \Delta z some no limite.
  • Em prova, execute a expansão algébrica do numerador, simplifique por \Delta z, e mostre que a parte que depende de \Delta z tende a zero quando \Delta z\to 0. Isso prova a existência do limite e fornece o valor da derivada.

Resposta

\dfrac{d w}{d z}=2z

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