Use a definição (3) da Seção 19 para demonstrar diretamente que
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
- Pedido: demonstrar diretamente, usando a definição (3) da Seção 19, que a derivada de
em relação a é quando . - Dado: a função
é definida por . - Informação que vamos usar (definição (3) da Seção 19): a derivada de uma função complexa
em um ponto é dada por
desde que esse limite exista (isto é, exista e seja o mesmo independentemente de como
tende a
no plano complexo).
Observações sobre símbolos:
-
é um pequeno incremento complexo em . Dizer significa . - A expressão que vamos estudar é o quociente incremental
e seu limite quando tende a zero.
Passo 2
Calcular explicitamente o quociente incremental para
.
Escrevemos o quociente:
Agora expandimos o numerador passo a passo. Multiplicando
(a multiplicação em
segue as mesmas regras algébricas dos reais):
Substituindo na expressão do quociente:
Cancelamos
no numerador e simplificamos:
Fatorando
no numerador e dividindo:
Portanto o quociente incremental fica explicitamente igual a
para todo
.
Passo 3
Aplicar a definição de derivada (tomar o limite quando
) e justificar por que o limite existe.
Pela definição,
Aqui é útil lembrar propriedades simples de limites complexos:
- Se uma sequência (ou variável) complexa
tende a no plano, então tende a independentemente do caminho (direção) escolhido; dizer significa . - O limite da soma é a soma dos limites quando estes existem.
é constante em relação a , logo seu limite é . O limite de quando é .
Portanto
Esse argumento vale para qualquer maneira de fazer
(pela reta real, pela reta imaginária, por qualquer curva): o termo residual
sempre tende a zero, então o limite é independente da direção. Assim o limite existe e vale
.
Passo 4
Interpretação didática curta (como aplicar isso numa prova).
- Regra prática: para polinômios complexos a derivação funciona como no caso real termo a termo. Aqui
produz porque o quociente incremental se reduz a , e o some no limite. - Em prova, execute a expansão algébrica do numerador, simplifique por
, e mostre que a parte que depende de tende a zero quando . Isso prova a existência do limite e fornece o valor da derivada.