Mostre que o limite especificado não existe:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite
não existe.
Informações dadas: a função é e o ponto de interesse é
. Note que no ponto
o denominador é zero, então estamos tratando de um limite por aproximação (não de um valor da função no ponto).
Informações dadas: a função é
Passo 2
Conceito importante (explicado com calma): para que o limite de uma função de duas variáveis em
exista e seja igual a um número
, é necessário que, ao aproximarmos
de
por qualquer caminho (reta, curva, etc.), os valores de
tendam sempre ao mesmo
. Portanto, uma estratégia prática para mostrar que um limite não existe é encontrar dois caminhos que chegam a
e produzam limites diferentes — isso já prova que não pode haver um único
comum a todas as direções.
Passo 3
Vamos usar caminhos do tipo reta através da origem:
, onde
é uma constante real. Substituindo
na expressão dada, para
temos:
Agora fatoramos
no denominador:
para todo
. Observe que essa expressão não depende mais de
, só depende de
.
Passo 4
Tomando
ao longo da reta
, o valor da função tende a
Como esse valor depende de
, diferentes retas (diferentes
) podem dar resultados distintos. Por exemplo:
- Para
(o caminho ) obtemos - Para
(o caminho ) obtemos
Os dois limites parciais são diferentes (
e
), logo não pode existir um único limite comum.
Passo 5
Interpretação final: vimos que aproximando por retas com inclinações diferentes obtemos limites distintos; portanto a família de aproximações não dá um único valor limite. Pelo argumento do Passo 2, isso implica que
não existe. (Se preferir, a mesma conclusão pode ser obtida usando coordenadas polares e observando dependência do ângulo, mas a demonstração por retas é mais direta.)
Resposta
O limite não existe.