Mostre que o limite especificado não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^{3} y}{x^{4}+y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^{3}y}{x^{4}+y^{4}}
não existe.
Informações dadas: a função é f(x,y)=\dfrac{3x^{3}y}{x^{4}+y^{4}} e o ponto de interesse é (0,0). Note que no ponto (0,0) o denominador é zero, então estamos tratando de um limite por aproximação (não de um valor da função no ponto).

Passo 2

Conceito importante (explicado com calma): para que o limite de uma função de duas variáveis em (0,0) exista e seja igual a um número L, é necessário que, ao aproximarmos (x,y) de (0,0) por qualquer caminho (reta, curva, etc.), os valores de f(x,y) tendam sempre ao mesmo L. Portanto, uma estratégia prática para mostrar que um limite não existe é encontrar dois caminhos que chegam a (0,0) e produzam limites diferentes — isso já prova que não pode haver um único L comum a todas as direções.

Passo 3

Vamos usar caminhos do tipo reta através da origem: y=kx, onde k é uma constante real. Substituindo y=kx na expressão dada, para x\neq 0 temos:
\frac{3x^{3}(kx)}{x^{4}+(kx)^{4}}=\frac{3k x^{4}}{x^{4}+k^{4}x^{4}}.
Agora fatoramos x^{4} no denominador:
\frac{3k x^{4}}{x^{4}(1+k^{4})}=\frac{3k}{1+k^{4}},
para todo x\neq 0. Observe que essa expressão não depende mais de x, só depende de k.

Passo 4

Tomando x\to 0 ao longo da reta y=kx, o valor da função tende a
\frac{3k}{1+k^{4}}.
Como esse valor depende de k, diferentes retas (diferentes k) podem dar resultados distintos. Por exemplo:
  • Para k=0 (o caminho y=0) obtemos \frac{3\cdot 0}{1+0^{4}}=0.
  • Para k=1 (o caminho y=x) obtemos \frac{3\cdot 1}{1+1^{4}}=\frac{3}{2}.
Os dois limites parciais são diferentes ( 0 e \tfrac{3}{2}), logo não pode existir um único limite comum.

Passo 5

Interpretação final: vimos que aproximando por retas com inclinações diferentes obtemos limites distintos; portanto a família de aproximações não dá um único valor limite. Pelo argumento do Passo 2, isso implica que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^{3}y}{x^{4}+y^{4}}
não existe. (Se preferir, a mesma conclusão pode ser obtida usando coordenadas polares e observando dependência do ângulo, mas a demonstração por retas é mais direta.)

Resposta

O limite não existe.

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