Em cada item abaixo, mostre que U e W são subespaços do espaço vetorial V.
(b) V=\mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}), \quad U=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] ; a-2 b=0\right\}, \quad W=\left\{\left[\begin{array}{ll}0 & e \\\\ 0 & f\end{array}\right] ; e, f \in \mathbb{R}\right\}.
Passo 1
O que o exercício pede: mostrar que U e W são subespaços do espaço vetorial V.
Informações dadas:
V=\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})
U=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\;;\;a-2b=0\right\}
Definição que vamos usar (explicada de forma simples): um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades:
contém o vetor zero de V;
é fechado sob soma: se x\in S e y\in S então x+y\in S;
é fechado sob multiplicação escalar: se x\in S e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda x\in S.
Essas três propriedades garantem que S herda todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial por si só. Vamos verificar uma a uma para U e W.
Passo 3
Verificação da propriedade (1) para U: o elemento zero em V é a matriz nula
0=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Substituindo em a-2b=0 com a=0 e b=0 obtemos 0-2\cdot 0=0. Logo 0\in U.]