Em cada item abaixo, mostre que U e W são subespaços do espaço vetorial V.
(b) V=\mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}), \quad U=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] ; a-2 b=0\right\}, \quad W=\left\{\left[\begin{array}{ll}0 & e \\\\ 0 & f\end{array}\right] ; e, f \in \mathbb{R}\right\}.

Passo 1

O que o exercício pede: mostrar que U e W são subespaços do espaço vetorial V.
Informações dadas:
V=\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})
U=\left\{\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\;;\;a-2b=0\right\}
W=\left\{\begin{pmatrix}0 & e\\[4pt] 0 & f\end{pmatrix}\;;\;e,f\in\mathbb{R}\right\}]

Passo 2

Definição que vamos usar (explicada de forma simples): um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades:
  1. contém o vetor zero de V;
  2. é fechado sob soma: se x\in S e y\in S então x+y\in S;
  3. é fechado sob multiplicação escalar: se x\in S e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda x\in S.
Essas três propriedades garantem que S herda todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial por si só. Vamos verificar uma a uma para U e W.

Passo 3

Verificação da propriedade (1) para U: o elemento zero em V é a matriz nula
0=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Substituindo em a-2b=0 com a=0 e b=0 obtemos 0-2\cdot 0=0. Logo 0\in U.]

Passo 4

Fechamento por soma em U: seja
A=\begin{pmatrix}a_1 & b_1\\[4pt] c_1 & d_1\end{pmatrix}\in U,\qquad B=\begin{pmatrix}a_2 & b_2\\[4pt] c_2 & d_2\end{pmatrix}\in U.
Pelo que significa pertencer a U temos
a_1-2b_1=0\quad\text{e}\quad a_2-2b_2=0.
A soma é
A+B=\begin{pmatrix}a_1+a_2 & b_1+b_2\\[4pt] c_1+c_2 & d_1+d_2\end{pmatrix}.
Verificamos a condição:
(a_1+a_2)-2(b_1+b_2)=(a_1-2b_1)+(a_2-2b_2)=0+0=0.
Portanto A+B\in U. Assim U é fechado sob adição.]

Passo 5

Fechamento por multiplicação escalar em U: seja \lambda\in\mathbb{R} e
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\in U,
com a-2b=0. Então
\lambda A=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\[4pt] \lambda c & \lambda d\end{pmatrix}.
Verificamos a condição:
\lambda a-2(\lambda b)=\lambda(a-2b)=\lambda\cdot 0=0.
Logo \lambda A\in U. Assim U é fechado sob multiplicação escalar.]

Passo 6

Conclusão sobre U: vimos que 0\in U, que U é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar. Portanto U é um subespaço de V.
Como comentário didático extra (útil para a prova): toda matriz de U tem a forma a=2b, ou seja
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2b & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} =b\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
o que mostra que U é o subespaço gerado por essas três matrizes (forma alternativa de ver que é subespaço).]

Passo 7

Verificação da propriedade (1) para W: a matriz nula
0=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}
é obtida em W tomando e=0 e f=0. Logo 0\in W.]

Passo 8

Fechamento por soma em W: sejam
X=\begin{pmatrix}0 & e_1\\[4pt] 0 & f_1\end{pmatrix}\in W,\qquad Y=\begin{pmatrix}0 & e_2\\[4pt] 0 & f_2\end{pmatrix}\in W.
A soma é
X+Y=\begin{pmatrix}0 & e_1+e_2\\[4pt] 0 & f_1+f_2\end{pmatrix},
que é de novo da forma exigida em W (com e=e_1+e_2 e f=f_1+f_2). Portanto X+Y\in W.]

Passo 9

Fechamento por multiplicação escalar em W: seja \lambda\in\mathbb{R} e
X=\begin{pmatrix}0 & e\\[4pt] 0 & f\end{pmatrix}\in W.
Então
\lambda X=\begin{pmatrix}0 & \lambda e\\[4pt] 0 & \lambda f\end{pmatrix},
que também pertence a W. Portanto W é fechado sob multiplicação escalar.]

Passo 10

Conclusão sobre W: como 0\in W e W é fechado sob soma e multiplicação escalar, W é um subespaço de V.
Comentário didático adicional: W pode ser escrito como
W=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\right\},
ou seja, é um subespaço de dimensão 2.]

Resposta

U é subespaço de V.
W é subespaço de V.

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