Verifique, em cada caso, se o limite existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{-7 x^{3}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{-7x^{3}}{x^{2}+y^{2}}
existe, e, caso exista, determinar o seu valor.
Informações dadas: a função é \displaystyle (x,y)\mapsto\frac{-7x^{3}}{x^{2}+y^{2}} definida em pontos onde (x,y)\neq(0,0). O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).

Passo 2

Vamos escolher um método que torne a análise simples e clara: usar coordenadas polares. Vou explicar o que são e por que é útil aqui. Em coordenadas polares escrevemos um ponto (x,y) por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo. Quando (x,y)\to(0,0) isso equivale a r\to 0 (o ângulo \theta pode variar). Esse troço é útil porque a combinação x^{2}+y^{2} vira simplesmente r^{2}, o que simplifica denominações radialmente simétricas como esta.

Passo 3

Substituindo x = r\cos\theta e y = r\sin\theta na expressão dada obtemos, para (x,y)\neq(0,0),
\frac{-7x^{3}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{-7 (r\cos\theta)^{3}}{r^{2}} = -7\,r\cos^{3}\theta.
Expliquei cada passo: x^{3}=(r\cos\theta)^{3}=r^{3}\cos^{3}\theta e x^{2}+y^{2}=r^{2}, logo r^{3}/r^{2}=r.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento quando r\to 0. Observe que para todo \theta vale |\cos^{3}\theta|\le 1. Portanto o valor absoluto da expressão satisfaz
\left|-7\,r\cos^{3}\theta\right| \le 7r.
Aqui usei que |-7|=7 e que |\cos^{3}\theta| \le 1. A função 7r tende a 0 quando r\to 0.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto (squeeze theorem): se uma função f(r,\theta) satisfaz |f(r,\theta)|\le g(r) com g(r)\to 0 quando r\to 0, então f(r,\theta)\to 0 quando r\to 0, independentemente de \theta. Aqui f(r,\theta)=-7r\cos^{3}\theta e g(r)=7r. Como g(r)\to 0, concluímos que
\lim_{r\to 0} -7r\cos^{3}\theta = 0,
uniformemente em \theta. Em termos das variáveis cartesianas, isso significa que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{-7x^{3}}{x^{2}+y^{2}} = 0.

Resposta

0

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