Mostre que o limite
lim (x, y) (0,0) f(x, y)
não existe para os seguintes casos de f:
f(x, y)=x y(x-y)x^4+y^4

Passo 1

Vamos resumir o que precisa ser feito: queremos mostrar que o limite de $ f(x, y) = \frac{x y(x - y)}{x^{4} + y^{4}} $ quando f(x, y) = x y(x - y)x^4 + y^4 se aproxima de (x, y) não existe. O conteúdo envolvido aqui é o estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento de $ f(x, y) $ ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, é importante entender que para funções de duas variáveis, o limite existe somente se todos os caminhos que nos levam ao ponto de interesse resultarem no mesmo valor. Então, vamos tentar encontrar dois caminhos diferentes que nos dão valores distintos para o limite. Se conseguirmos isso, podemos concluir que o limite não existe.

Passo 3

Vamos começar analisando o caminho onde $ y = 0 $. Isso significa que estamos nos aproximando de y = 0 ao longo do eixo $ x $. Substituindo $ y = 0 $ na função:
(0,0)
Portanto, ao longo do caminho $ y = 0 $, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos analisar um caminho diferente, por exemplo, $ y = x $. Isso significa que estamos nos aproximando de y = x ao longo da linha que forma um ângulo de 45 graus com os eixos. Substituindo $ y = x $ na função:
(0,0)
Parece que o limite também é 0 nesse caminho. Vamos tentar outro caminho para ver se conseguimos uma resposta diferente.

Passo 5

Vamos agora considerar o caminho $ y = m x $, onde $ m $ é uma constante diferente de 0 e 1. Substituindo $ y = m x $ na função:
y = m x
Aqui, à medida que $ x $ se aproxima de 0, o denominador $ x $ também se aproxima de 0, fazendo com que todo o termo se aproxime de $ \infty $ ou $ -\infty $, dependendo dos valores de $ m $.

Passo 6

Observamos que, ao longo do caminho $ y = m x $, o limite tende para $ \infty $ ou $ -\infty $, que são valores diferentes de 0 que encontramos nos caminhos anteriores. Como conseguimos caminhos com limites diferentes, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite $ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y(x - y)}{x{4}+y{4}} $ não existe.

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