Mostre que os limites abaixo existem e são iguais a 0. (Escreva as funções como produto de uma função que tende a zero e outra função limitada. Dica: Utilize as desigualdades: ou )
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que . O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis e a estratégia será escrever a expressão como produto de uma parte que tende a zero e outra que seja limitada.
Passo 2
Para começar, consideramos o valor absoluto da função e usamos desigualdades conhecidas:
Em seguida, note que x^2/(x^2+y^2) <= 1 e y^2/(x^2+y^2) <= 1. Portanto
|x|^2|y|x^2+y^2 <= |y|, |x||y|^2x^2+y^2 <= |x|
Somando essas duas desigualdades, obtemos
|x^2y + xy^2x^2 + y^2| <= |x| + |y|
Passo 3
Isso nos permite identificar a decomposição em produto: