Mostre que os limites abaixo existem e são iguais a 0. (Escreva as funções como produto de uma função que tende a zero e outra função limitada. Dica: Utilize as desigualdades: x^2x^2+y^2 <= 1 ou x yx^2+y^2 <= 1 )
lim (x, y) (0,0) x^2 y+x y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que lim(x,y)to(0,0) x^2y + xy^2x^2 + y^2 = 0. O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis e a estratégia será escrever a expressão como produto de uma parte que tende a zero e outra que seja limitada.

Passo 2

Para começar, consideramos o valor absoluto da função e usamos desigualdades conhecidas:
|x^2y + xy^2x^2 + y^2| <= |x|^2|y| + |x||y|^2x^2 + y^2
Em seguida, note que x^2/(x^2+y^2) <= 1 e y^2/(x^2+y^2) <= 1. Portanto
|x|^2|y|x^2+y^2 <= |y|, |x||y|^2x^2+y^2 <= |x|
Somando essas duas desigualdades, obtemos
|x^2y + xy^2x^2 + y^2| <= |x| + |y|

Passo 3

Isso nos permite identificar a decomposição em produto:
definimos
f(x,y) = |x| + |y|,
g(x,y) = x^2y + xy^2(x^2+y^2),(|x| + |y|)
e vemos que
|x^2y + xy^2x^2 + y^2| = |f(x,y),g(x,y)| <= f(x,y),sup|g|
Pela desigualdade acima, |g(x,y)| <= 1 sempre.

Passo 4

Como f(x,y)=|x|+|y| tende a zero quando (x,y)to(0,0) e g(x,y) é limitada por 1, o produto f(x,y),g(x,y) tende a zero. Logo,
lim(x,y)to(0,0) x^2y + xy^2x^2 + y^2 = 0

Resposta

0

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