Resolva o PVI :
x^2 y^prime prime+x y^prime-2 y=0, y(1)=0 e y^prime(1)=1

Passo 1

Temos o problema de valor inicial dado por
x^2y'' + x y' - 2y = 0,
com condições y(1)=0 e y'(1)=1. Este é um PVI para uma equação diferencial de Euler (ou equidimensional) de segunda ordem. Vamos usar a técnica de tentar uma solução do tipo y = x^r.

Passo 2

Supondo y = x^r, calculamos as derivadas:
y' = r,x^r-1, y'' = r(r-1),x^r-2
Substituindo na equação original, obtemos
x^2cdot r(r-1)x^r-2 + xcdot r,x^r-1 - 2,x^r = 0

Passo 3

Fatorando x^r na expressão acima, temos
l[r(r-1) + r - 2r],x^r = 0
Como x^rneq 0, a parte entre colchetes deve ser zero, gerando a equação característica
r(r-1) + r - 2 = 0 Longrightarrow r^2 - 2 = 0
Assim, os raízes são r = raiz2 e r = -raiz2.

Passo 4

Com as raízes distintas r1=raiz2 e r2=-raiz2, a solução geral da equação é
y(x) = C1,x^raiz2 + C2,x^-raiz2

Passo 5

Para aplicar as condições iniciais, precisamos de y'. Derivando,
y' = C1,raiz2,x^raiz2-1 - C2,raiz2,x^-raiz2-1

Passo 6

Aplicando y(1)=0 na solução geral, obtemos
C1 + C2 = 0 Longrightarrow C2 = -,C1
Em seguida, aplicando y'(1)=1, temos
raiz2(C1 - C2) = 1 Longrightarrow raiz2(C1 - (-C1)) = 1 Longrightarrow 2raiz2,C1 = 1 Longrightarrow C1 = 12raiz2, C2 = -12raiz2

Passo 7

Substituindo C1 e C2 de volta na solução geral, chegamos à solução particular
y(x) = 12raiz2,x^raiz2 - 12raiz2,x^-raiz2 = x^raiz2 - x^-raiz22raiz2

Resposta

y(x) = x^raiz2 - x^-raiz22raiz2

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