Resolva o PVI :
Passo 1
Temos o problema de valor inicial dado por
com condições
e
. Este é um PVI para uma equação diferencial de Euler (ou equidimensional) de segunda ordem. Vamos usar a técnica de tentar uma solução do tipo
.
Passo 2
Supondo
, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original, obtemos
Passo 3
Fatorando
na expressão acima, temos
Como
, a parte entre colchetes deve ser zero, gerando a equação característica
Assim, os raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes distintas
e
, a solução geral da equação é
Passo 5
Para aplicar as condições iniciais, precisamos de
. Derivando,
Passo 6
Aplicando
na solução geral, obtemos
Em seguida, aplicando
, temos
Passo 7
Substituindo
e
de volta na solução geral, chegamos à solução particular