Mostre que o limite não existe
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} \frac{2 x^{2}+3 y^{2}+z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{2x^{2}+3y^{2}+z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
O conteúdo é limite de função de várias variáveis e vamos usar o fato de que, se o limite existe, deve ser o mesmo em qualquer caminho de aproximação.

Passo 2

Considere aproximar de duas direções diferentes ao ponto (0,0,0). Se obtivermos valores distintos para a função nessas direções, o limite não existe.

Passo 3

Tomemos o caminho y=0, z=0 e x\to0. Nesse caso
\frac{2x^{2}+3\cdot0^{2}+0^{2}}{x^{2}+0^{2}+0^{2}} =\frac{2x^{2}}{x^{2}}=2.
Logo, ao longo do eixo x, o limite vale 2.

Passo 4

Agora tomemos o caminho x=0, z=0 e y\to0. Então
\frac{2\cdot0^{2}+3y^{2}+0^{2}}{0^{2}+y^{2}+0^{2}} =\frac{3y^{2}}{y^{2}}=3.
Ao longo do eixo y, o limite vale 3.

Passo 5

Como as duas direções deram resultados diferentes 2 e 3, não há valor único que a função assuma ao se aproximar de (0,0,0). Portanto o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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