Mostre que os limites abaixo não existem.
b) lim z 1 x+y-1z-1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para mostrar que o limite não existe. A gente vai usar conceitos de limites e analisar como a expressão se comporta conforme se aproxima de 1. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta em diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um limite existir, ele precisa ter o mesmo valor independente do caminho que escolhemos para nos aproximarmos do ponto em questão. Ou seja, se a gente obtiver resultados diferentes dependendo de como se aproxima de 1, então o limite não existe.

Passo 3

Vamos considerar dois caminhos diferentes para a + b - 1z - 1 se aproximar de 1 e ver o que acontece com k(z - 1)z - 1 = k :
Caminho 1: e são constantes quando .
Suponha que e , onde e são constantes. Então, a expressão fica:
À medida que se aproxima de 1, o denominador tende a 0. Se , a expressão tende a mais ou menos infinito, dependendo do sinal de .
Caminho 2: e variam com de forma que , onde é uma constante.
Aqui, a expressão fica:
Nesse caso, o limite é simplesmente , que é uma constante finita.

Passo 4

Observamos que no Caminho 1, o limite tende a infinito (ou menos infinito), enquanto no Caminho 2, o limite é uma constante finita . Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido para se aproximar de , isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

Portanto, não existe porque depende do caminho pelo qual se aproxima de 1.

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