Mostre que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-2 x y+5 y^{2}}{3 x^{2}+4 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}-2xy+5y^{2}}{3x^{2}+4y^{2}}
não existe.
Informações dadas:
  • A função é a razão de dois polinômios quadráticos em x,y.
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • É preciso provar que o limite quando (x,y) tende a (0,0) não existe.

Passo 2

O que significa “limite não existe” em duas variáveis (comentário didático e regra prática):
  • Em \mathbb{R}^2, o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e vale L se, ao aproximar (x,y) de (0,0) por qualquer caminho, os valores f(x,y) tendem sempre ao mesmo número L.
  • Uma forma prática e muito usada para provar que um limite NÃO existe é encontrar duas trajetórias (dois caminhos) que chegam a (0,0) e para as quais os limites das imagens são números diferentes. Se isso acontecer, o limite total não pode existir, porque não há um único L que seja limite em todos os caminhos.
    Vamos aplicar essa estratégia (é básica e suficiente para este problema).

Passo 3

Escolho a família de retas que passam pela origem dada por
y = m x,
onde m é um parâmetro real (a inclinação da reta). Vou calcular o limite ao longo dessa reta. Substituindo y=mx na função:
\frac{x^{2}-2x y+5y^{2}}{3x^{2}+4y^{2}} = \frac{x^{2}-2x(mx)+5 (mx)^{2}}{3x^{2}+4 (mx)^{2}}.

Passo 4

Faço as operações algébricas dentro da fração (sempre lembrando que, ao aproximar por pontos diferentes de (0,0), pode-se dividir por x^{2} quando x\neq0):
\frac{x^{2}-2m x^{2}+5m^{2}x^{2}}{3x^{2}+4m^{2}x^{2}} = \frac{x^{2}\bigl(1-2m+5m^{2}\bigr)}{x^{2}\bigl(3+4m^{2}\bigr)}.
Para x\neq0 podemos cancelar x^{2}, ficando
\frac{1-2m+5m^{2}}{3+4m^{2}}.
Isso é uma constante (depende de m mas não de x). Portanto, ao aproximar (x,y) de (0,0) ao longo da reta y=mx (isto é, tomando x\to0 com y=mx), a função tende ao valor
L(m)=\frac{1-2m+5m^{2}}{3+4m^{2}}.

Passo 5

Agora basta verificar que existem dois valores de m que dão resultados diferentes para L(m). Calculo dois casos fáceis:
Caso m=0 (reta y=0):
L(0)=\frac{1-2\cdot0+5\cdot0^{2}}{3+4\cdot0^{2}}=\frac{1}{3}.
Caso m=1 (reta y=x):
L(1)=\frac{1-2\cdot1+5\cdot1^{2}}{3+4\cdot1^{2}}=\frac{1-2+5}{3+4}=\frac{4}{7}.
Como
\frac{1}{3}\neq\frac{4}{7},
obtém-se dois limites ao longo de duas trajetórias diferentes que são distintos.

Passo 6

Conclusão lógica (didática): se ao aproximar por duas trajetórias diferentes o valor da função tende a dois números distintos, então não existe um único número L que seja limite quando (x,y)\to(0,0) por qualquer caminho. Logo o limite pedido não existe.

Resposta

O limite não existe.

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