Mostre que os limites abaixo não existem.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite
não existe.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é a razão de dois polinômios quadráticos em
. - O ponto de interesse é
. - É preciso provar que o limite quando
tende a não existe.
Passo 2
O que significa “limite não existe” em duas variáveis (comentário didático e regra prática):
- Em
, o limite existe e vale se, ao aproximar de por qualquer caminho, os valores tendem sempre ao mesmo número . - Uma forma prática e muito usada para provar que um limite NÃO existe é encontrar duas trajetórias (dois caminhos) que chegam a
e para as quais os limites das imagens são números diferentes. Se isso acontecer, o limite total não pode existir, porque não há um único que seja limite em todos os caminhos.
Vamos aplicar essa estratégia (é básica e suficiente para este problema).
Passo 3
Escolho a família de retas que passam pela origem dada por
onde
é um parâmetro real (a inclinação da reta). Vou calcular o limite ao longo dessa reta. Substituindo
na função:
Passo 4
Faço as operações algébricas dentro da fração (sempre lembrando que, ao aproximar por pontos diferentes de
, pode-se dividir por
quando
):
Para
podemos cancelar
, ficando
Isso é uma constante (depende de
mas não de
). Portanto, ao aproximar
de
ao longo da reta
(isto é, tomando
com
), a função tende ao valor
Passo 5
Agora basta verificar que existem dois valores de
que dão resultados diferentes para
. Calculo dois casos fáceis:
Caso
(reta
):
Caso
(reta
):
Como
obtém-se dois limites ao longo de duas trajetórias diferentes que são distintos.
Passo 6
Conclusão lógica (didática): se ao aproximar por duas trajetórias diferentes o valor da função tende a dois números distintos, então não existe um único número
que seja limite quando
por qualquer caminho. Logo o limite pedido não existe.
Resposta
O limite não existe.