(Utilizando Geogebra) Esboce os gráficos de
e algumas curvas de nível de
para alguns valores de k .
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da superfície
e algumas curvas de nível
para valores de
. A função dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é polinomial em
(grau total ). - Preciso fornecer tanto o esboço da superfície
(3D) quanto as curvas de nível no plano (contornos). - O enunciado pede uso do GeoGebra, então vou também explicar passo a passo como inserir e visualizar a superfície e as curvas de nível no GeoGebra.
Passo 2
Vamos começar entendendo a forma algébrica de
. Primeiro fatoro a expressão para ver padrões úteis:
Fatorando
em comum:
Posso fatorar ainda mais
, então
Essa fatoração mostra imediatamente as curvas onde
: as retas
,
,
e
. Essas quatro retas dividem o plano em 8 setores angulares — informação importante para as curvas de nível.
Passo 3
Uma transformação muito útil é passar para coordenadas polares
com
e
. Vou derivar
em polares para entender a dependência angular e radial:
Substituindo e
em
,
Substituindo
Reorganizando as potências de
,
Usando identidades trigonométricas
e
, obtenho
Essa forma é poderosa: separa o comportamento radial
do angular
.
Passo 4
Interpretação da forma polar e consequências:
- A função é homogênea de grau
: . Logo, ao aumentar a escala radial (afastar do origem), os valores de crescem como . - O fator
controla o sinal e a distribuição angular: onde temos . As soluções são (com ), que correspondem às retas , , , que vimos pela fatoração. - O sinal de
é dado por (já que ). Assim, em setores angulares onde a função é negativa, e onde a função é positiva.
Passo 5
Equação explícita das curvas de nível. Para um nível fixo
temos
Isolando
,
Portanto, para um dado
real, os pontos da curva de nível satisfazem
com a condição de existência real: o quociente
deve ser não negativo (isto é,
). Em palavras:
- Se
então ou — isto produz as retas , , . - Se
então nas direções onde curvas existem. - Se
então nas direções onde curvas existem.
Essa equação mostra que cada curva de nível é obtida como uma função radial
com singularidades (assintotas angulares) quando
. Geometricamente, para cada
surgem quatro “lóbulos” simétricos (um em cada setor apropriado), porque
muda de sinal a cada
.
Passo 6
Classificação de simetrias e comportamento no entorno da origem:
-
: a função é par sob inversão simultânea dos dois sinais (simetria de rotação de ). -
e : trocar o sinal de apenas uma coordenada muda o sinal de . - O único ponto crítico (onde
) é a origem . A Hessiana no ponto é degenerada (todas segundas derivadas são zero em ), o que indica que a origem é um ponto crítico de ordem superior (um ponto de sela “multilobado” quando observado no contorno).
Passo 7
Como esboçar a superfície
no GeoGebra (passo a passo prático):
- Abra o GeoGebra e escolha a vista “3D Graphics”.
- Na linha de entrada, digite explicitamente a função:
e pressione Enter. O GeoGebra desenhará a superfície
.
3. Ajuste a escala e a rotação da vista 3D para visualizar os lóbulos (gire em torno do eixo e incline para ver as cristas e vales). Como
cresce rapidamente com
, escolha uma janela razoável (por exemplo
ou
) para não perder detalhes perto da origem.
4. Ative sombras/transparência se quiser destacar as curvas de nível projetadas no plano .
3. Ajuste a escala e a rotação da vista 3D para visualizar os lóbulos (gire em torno do eixo
4. Ative sombras/transparência se quiser destacar as curvas de nível projetadas no plano
Passo 8
Como desenhar curvas de nível
no GeoGebra:
Opção A — ferramenta de contorno (se disponível):
Opção A — ferramenta de contorno (se disponível):
- Use a ferramenta “Contour” / “Level Set” do GeoGebra 3D e insira a função
e o valor . Repita para vários .
Opção B — curva implícita na vista 2D: - Abra uma vista “Graphics” (plano
) ou use a vista 3D e crie curvas implícitas com a entrada, por exemplo:
- No GeoGebra clássico pode usar a entrada:
como equação implícita; em versões mais antigas use o comando apropriado de curva implícita.
Opção C — parametrização polar (muito didática): - Com a fórmula polar
e a condição de existência, parametrize em termos de . Em GeoGebra você pode criar uma curva paramétrica:
onde
é o intervalo onde
. Para desenhar o lobo de um setor escolha
num intervalo central entre as retas nodais, por exemplo
para
.
Passo 9
Sugestão de valores de
práticos para esboçar (mantenha módulos modestos porque
cresce rápido com
):
-
— mostra as linhas nodais , , . -
e — lóbulos positivos localizados nos setores onde . -
e — lóbulos negativos localizados nos setores onde .
Ao desenhar, compare os contornos com a projeção da superfície 3D: os máximos e mínimos dos lóbulos da superfície correspondem a regiões onde as curvas de nível fecham mais próximas da origem.
Passo 10
Interpretação geométrica final e dicas de esboço à mão (útil na prova):
- As curvas de nível são simétricas de 90º em 90º (período angular
para ), portanto desenhe um “padrão de flor” com 4 lóbulos principais alternando sinal. - Próximo à origem as curvas ficam compactas e próximas; conforme segue-se para valores maiores de
os lóbulos se afastam rapidamente porque . - As retas
, , formam os eixos nodais que delimitam os setores onde os lóbulos aparecem. - No esboço da superfície 3D: visualize quatro cristas/vales alternados ao redor da origem (como uma rosa de quatro pétalas com sinais alternados), altura crescendo como
.
Resposta
A superfície pode ser escrita em coordenadas polares como
.
As curvas de nível satisfazem (ou
quando a expressão dentro da raiz for não negativa).
Curvas notáveis: dá as retas
. Recomenda-se desenhar níveis
no GeoGebra para visualizar os lóbulos alternados conforme explicado nos passos acima.
As curvas de nível satisfazem
Curvas notáveis: