(Utilizando Geogebra) Esboce os gráficos de z=f(x, y) e algumas curvas de nível de f(x, y)=k para alguns valores de k .
f(x, y)=\frac{x y^{3}-x^{3} y}{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da superfície z=f(x,y) e algumas curvas de nível f(x,y)=k para valores de k. A função dada é
f(x,y)=\frac{x y^{3}-x^{3} y}{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é polinomial em x,y (grau total 4).
  • Preciso fornecer tanto o esboço da superfície z=f(x,y) (3D) quanto as curvas de nível no plano xy (contornos).
  • O enunciado pede uso do GeoGebra, então vou também explicar passo a passo como inserir e visualizar a superfície e as curvas de nível no GeoGebra.

Passo 2

Vamos começar entendendo a forma algébrica de f. Primeiro fatoro a expressão para ver padrões úteis:
f(x,y)=\frac{x y^{3}-x^{3} y}{2}.
Fatorando x y em comum:
f(x,y)=\frac{xy\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr)}{2}.
Posso fatorar ainda mais y^{2}-x^{2}=(y-x)(y+x), então
f(x,y)=\frac{1}{2}\,x y (y-x)(y+x).
Essa fatoração mostra imediatamente as curvas onde f=0: as retas x=0, y=0, y=x e y=-x. Essas quatro retas dividem o plano em 8 setores angulares — informação importante para as curvas de nível.

Passo 3

Uma transformação muito útil é passar para coordenadas polares (r,\theta) com x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Vou derivar f em polares para entender a dependência angular e radial:
Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta em f,
f(r,\theta)=\frac{1}{2}\bigl(r\cos\theta\bigr)\bigl(r\sin\theta\bigr)\bigl((r\sin\theta)^{2}-(r\cos\theta)^{2}\bigr).
Reorganizando as potências de r,
f(r,\theta)=\frac{1}{2}r^{4}\cos\theta\sin\theta\bigl(\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta\bigr).
Usando identidades trigonométricas \cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin2\theta e \sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta=-\cos2\theta, obtenho
f(r,\theta)=-\frac{1}{8}\,r^{4}\sin4\theta.
Essa forma é poderosa: separa o comportamento radial (r^{4}) do angular (\sin4\theta).

Passo 4

Interpretação da forma polar e consequências:
  • A função é homogênea de grau 4: f(tx,ty)=t^{4}f(x,y). Logo, ao aumentar a escala radial (afastar do origem), os valores de z crescem como r^{4}.
  • O fator \sin4\theta controla o sinal e a distribuição angular: onde \sin4\theta=0 temos f=0. As soluções \sin4\theta=0 são \theta = m\frac{\pi}{4} (com m\in\mathbb{Z}), que correspondem às retas x=0, y=0, y=x, y=-x que vimos pela fatoração.
  • O sinal de f é dado por -\sin4\theta (já que r^{4}\ge0). Assim, em setores angulares onde \sin4\theta>0 a função é negativa, e onde \sin4\theta<0 a função é positiva.

Passo 5

Equação explícita das curvas de nível. Para um nível fixo k temos
-\frac{1}{8}r^{4}\sin4\theta = k.
Isolando r,
r^{4} = -\frac{8k}{\sin4\theta}.
Portanto, para um dado k real, os pontos da curva de nível satisfazem
r(\theta)=\left(-\frac{8k}{\sin4\theta}\right)^{1/4},
com a condição de existência real: o quociente -\dfrac{8k}{\sin4\theta} deve ser não negativo (isto é, -8k/\sin4\theta\ge0). Em palavras:
  • Se k=0 então r=0 ou \sin4\theta=0 — isto produz as retas x=0, y=0, y=\pm x.
  • Se k>0 então \sin4\theta<0 nas direções onde curvas existem.
  • Se k<0 então \sin4\theta>0 nas direções onde curvas existem.
Essa equação mostra que cada curva de nível é obtida como uma função radial r(\theta) com singularidades (assintotas angulares) quando \sin4\theta\to 0. Geometricamente, para cada k\neq0 surgem quatro “lóbulos” simétricos (um em cada setor apropriado), porque \sin4\theta muda de sinal a cada \pi/4.

Passo 6

Classificação de simetrias e comportamento no entorno da origem:
  • f(-x,-y)=f(x,y): a função é par sob inversão simultânea dos dois sinais (simetria de rotação de 180^\circ).
  • f(-x,y)=-f(x,y) e f(x,-y)=-f(x,y): trocar o sinal de apenas uma coordenada muda o sinal de f.
  • O único ponto crítico (onde \nabla f=0) é a origem (0,0). A Hessiana no ponto é degenerada (todas segundas derivadas são zero em (0,0)), o que indica que a origem é um ponto crítico de ordem superior (um ponto de sela “multilobado” quando observado no contorno).

Passo 7

Como esboçar a superfície z=f(x,y) no GeoGebra (passo a passo prático):
  1. Abra o GeoGebra e escolha a vista “3D Graphics”.
  2. Na linha de entrada, digite explicitamente a função:
\text{f}(x,y)=\frac{x y^{3}-x^{3} y}{2}
e pressione Enter. O GeoGebra desenhará a superfície z=f(x,y).
3. Ajuste a escala e a rotação da vista 3D para visualizar os lóbulos (gire em torno do eixo z e incline para ver as cristas e vales). Como f cresce rapidamente com r^{4}, escolha uma janela razoável (por exemplo x,y\in[-2,2] ou [-1.5,1.5]) para não perder detalhes perto da origem.
4. Ative sombras/transparência se quiser destacar as curvas de nível projetadas no plano z=0.

Passo 8

Como desenhar curvas de nível f(x,y)=k no GeoGebra:
Opção A — ferramenta de contorno (se disponível):
  • Use a ferramenta “Contour” / “Level Set” do GeoGebra 3D e insira a função \text{f}(x,y) e o valor k. Repita para vários k.
    Opção B — curva implícita na vista 2D:
  • Abra uma vista “Graphics” (plano xy) ou use a vista 3D e crie curvas implícitas com a entrada, por exemplo:
\text{ImplicitCurve}\bigl(\frac{x y^{3}-x^{3} y}{2}=k,\,x,\,y\bigr)
  • No GeoGebra clássico pode usar a entrada: (x y^{3}-x^{3} y)/2 = k como equação implícita; em versões mais antigas use o comando apropriado de curva implícita.
    Opção C — parametrização polar (muito didática):
  • Com a fórmula polar r(\theta)=\bigl(-8k/\sin4\theta\bigr)^{1/4} e a condição de existência, parametrize em termos de \theta. Em GeoGebra você pode criar uma curva paramétrica:
\bigl(r(\theta)\cos\theta,\; r(\theta)\sin\theta\bigr),\quad \theta\in I,
onde I é o intervalo onde -8k/\sin4\theta\ge0. Para desenhar o lobo de um setor escolha \theta num intervalo central entre as retas nodais, por exemplo \theta\in(\pi/4,\,\pi/2) para k>0.

Passo 9

Sugestão de valores de k práticos para esboçar (mantenha módulos modestos porque r cresce rápido com r^{4}):
  • k=0 — mostra as linhas nodais x=0, y=0, y=\pm x.
  • k=0{,}1 e k=1 — lóbulos positivos localizados nos setores onde \sin4\theta<0.
  • k=-0{,}1 e k=-1 — lóbulos negativos localizados nos setores onde \sin4\theta>0.
    Ao desenhar, compare os contornos com a projeção da superfície 3D: os máximos e mínimos dos lóbulos da superfície correspondem a regiões onde as curvas de nível fecham mais próximas da origem.

Passo 10

Interpretação geométrica final e dicas de esboço à mão (útil na prova):
  • As curvas de nível são simétricas de 90º em 90º (período angular \pi/2 para \sin4\theta), portanto desenhe um “padrão de flor” com 4 lóbulos principais alternando sinal.
  • Próximo à origem as curvas ficam compactas e próximas; conforme segue-se para valores maiores de |k| os lóbulos se afastam rapidamente porque r\propto |k|^{1/4}.
  • As retas x=0, y=0, y=\pm x formam os eixos nodais que delimitam os setores onde os lóbulos aparecem.
  • No esboço da superfície 3D: visualize quatro cristas/vales alternados ao redor da origem (como uma rosa de quatro pétalas com sinais alternados), altura crescendo como r^{4}.

Resposta

A superfície pode ser escrita em coordenadas polares como \displaystyle f(r,\theta)=-\frac{1}{8}r^{4}\sin4\theta.
As curvas de nível satisfazem \displaystyle r^{4}=-\frac{8k}{\sin4\theta} (ou \displaystyle r(\theta)=\bigl(-8k/\sin4\theta\bigr)^{1/4} quando a expressão dentro da raiz for não negativa).
Curvas notáveis: k=0 dá as retas x=0,\\ y=0,\\ y=x,\\ y=-x. Recomenda-se desenhar níveis k=\pm0{,}1,\\ \pm1 no GeoGebra para visualizar os lóbulos alternados conforme explicado nos passos acima.

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