(Utilizando Geogebra) Esboce os gráficos de z=f(x, y) e algumas curvas de nível de f(x, y)=k para alguns valores de k .
f(x, y)=y^{4}-8 y^{2}-4 x^{2}

Passo 1

Aqui está o que o enunciado pede e os dados que temos (sem resolver nada ainda):
  • O enunciado pede: esboçar o gráfico da superfície z=f(x,y) e também algumas curvas de nível dadas por f(x,y)=k para alguns valores de k.
  • A função dada é
f(x,y)=y^{4}-8y^{2}-4x^{2}.
  • O objetivo prático: (1) desenhar a superfície z=y^{4}-8y^{2}-4x^{2} em 3D; (2) desenhar/estudar curvas de nível \{(x,y)\mid y^{4}-8y^{2}-4x^{2}=k\} para vários k, e entender como mudar k altera as curvas.

Passo 2

Propriedades úteis e simetrias (coisa importante para esboçar rápido e sem erro):
  • Simetria em x e em y: f(-x,y)=f(x,y)\quad\text{e}\quad f(x,-y)=f(x,y),portanto o gráfico e as curvas de nível são simétricos em relação aos eixos x e y. Isso já reduz bastante trabalho: basta desenhar no quadrante x\ge0,y\ge0 e refletir.
  • Crescimento/límites: \text{para }|y|\to\infty:\; f(x,y)\sim y^4\to +\infty \quad(\text{para qualquer }x\text{ fixo}),
\text{para }|x|\to\infty:\; f(x,y)\sim -4x^2\to -\infty \quad(\text{para qualquer }y\text{ fixo}).
Ou seja: ao longo do eixo y a superfície sobe muito (termo y^4), mas ao longo do eixo x a superfície desce (parábola negativa em x). Isso dá a ideia de uma “colina/barbatana” ao longo de y e “vales” quando se vai em x.
  • Estrutura separável: escrevendo f(x,y)=g(y)-4x^2,\qquad g(y)=y^4-8y^2,para cada valor fixo de y a seção em x é uma parábola invertida z=-4x^2+\text{const}; para cada x fixo a seção em y é um quartic y^4-8y^2+\text{const}. Isso ajuda a imaginar cortes.

Passo 3

Pontos críticos (úteis para saber onde a superfície tem topos / selas):
  • Calcular o gradiente: \nabla f=(f_x,f_y)=(-8x,\;4y^3-16y).Igualando a zero: -8x=0\implies x=0,
4y(y^2-4)=0\implies y=0\\ \text{ou}\\ y=\pm 2.
Assim os pontos críticos são (0,0) e (0,\pm 2).
  • Valores em cada ponto: f(0,0)=0,\qquad f(0,\pm2)=16-32=-16.
  • Classificação com Hessiana: f_{xx}=-8,\quad f_{yy}=12y^2-16,\quad f_{xy}=0.
    • Em (0,0): f_{xx}=-8,\;f_{yy}=-16 e \det H=(-8)(-16)=128>0 e f_{xx}<0 \Rightarrow ponto de máximo local em (0,0) com z=0.
    • Em (0,\pm2): f_{xx}=-8,\;f_{yy}=32 e \det H=(-8)(32)=-256<0 \Rightarrow ponto de sela em (0,\pm2) com z=-16.
Esses pontos serão marcadores importantes no esboço 3D e também aparecem nas curvas de nível (por exemplo k=0 e k=-16).

Passo 4

Equação das curvas de nível e manipulação algébrica útil para esboço:
  • Curvas de nível definidas por
y^{4}-8y^{2}-4x^{2}=k.
  • Isolar x^2:
4x^{2}=y^{4}-8y^{2}-k\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac{1}{4}\bigl(y^{4}-8y^{2}-k\bigr).
Logo, para ter pontos reais na curva, é necessário
y^{4}-8y^{2}-k\ge 0.
  • Reescrever de forma conveniente: note que
y^{4}-8y^{2}=(y^{2}-4)^{2}-16,
então
4x^{2}=(y^{2}-4)^{2}-(16+k).
Definindo u=y^{2}-4 e v=2x, temos a forma
u^{2}-v^{2}=16+k,
ou seja, uma hipérbole no plano (u,v). Isso ajuda a entender qualitativamente: as curvas de nível são imagens, pela transformação u=y^{2}-4,\;v=2x, de hipérbolas (ou de casos degenerados) no plano (u,v). Lembrar, porém, que u=y^{2}-4 satisfaz u\ge -4 (pois y^{2}\ge0), então parte da hipérbole pode ser “cortada” pela condição de validade de u.

Passo 5

Como proceder no GeoGebra (passo-a-passo prático e comandos/técnica):
  • Desenhar a superfície 3D:
    1. Abrir a vista 3D do GeoGebra.
    2. Na barra de entrada, digitar (exatamente) a equação da superfície: z=y^{4}-8y^{2}-4x^{2}(no GeoGebra basta escrever: z = y^4 - 8 y^2 - 4 x^2). A superfície aparecerá imediatamente.
    3. Use rotação e zoom para observar cortes por planos x= const e y= const.
  • Obter curvas de nível como interseções com planos horizontais:
    1. Para cada k que quiser, crie o plano horizontal z=k (no GeoGebra 3D: na entrada, escrever por exemplo: z = -16).
    2. Intersecte a superfície com esse plano: usar comando Intersect(Surface,Plane) ou simplesmente clicar com a ferramenta Intersecção entre objetos. O resultado é a curva de nível no espaço 3D; se quiser a projeção no plano xy, peça a projeção da interseção no plano z=0.
  • Alternativa (2D): plotar a curva implícita no plano xy (útil para um mapa de curvas de nível):
    • No campo de entrada 2D do GeoGebra, digitar a equação implícita: y^{4}-8y^{2}-4x^{2}=kpor exemplo: y^4 - 8 y^2 - 4 x^2 = -8 . O GeoGebra desenhará a(s) curva(s) de nível diretamente no plano.
  • Se preferir plotar como curva paramétrica (útil quando quiser controlar o domínio em y):
    1. A partir de x=\pm\frac{1}{2}\sqrt{y^{4}-8y^{2}-k}, definir duas curvas paramétricas (uma para x\ge0 e outra \le0): \text{Curva direita: }(x,y)=\Bigl(\tfrac{1}{2}\sqrt{y^{4}-8y^{2}-k},\;y\Bigr),\quad y\in I,
\text{Curva esquerda: }(x,y)=\Bigl(-\tfrac{1}{2}\sqrt{y^{4}-8y^{2}-k},\;y\Bigr),\quad y\in I,
 onde \(I\) é o conjunto de \(y\) para os quais o radicando é \(\ge0\). No GeoGebra escreva Curve[ 1/2*sqrt(y^4-8*y^2-k), y, y_min, y_max] e a versão negativa.
  1. Determinar y_{\min},y_{\max} resolvendo numericamente y^{4}-8y^{2}-k=0 para achar os intervalos I. O GeoGebra faz isso com Solve ou com o botão de cálculo numérico.

Passo 6

Valores k representativos e interpretação das curvas de nível (faça exatamente esses para ver a transição de formatos):
Vamos escolher e analisar alguns k típicos: k=-32 (muito negativo), k=-16 (valor do ponto de sela), k=-8 (entre -16 e 0), k=0 (valor do máximo local), k=16 (positivo).
Para análise usamos t=y^{2}. A equação y^{4}-8y^{2}-k=0 vira
t^{2}-8t-k=0\quad\Rightarrow\quad t=4\pm\sqrt{16+k}.
A existência de raízes reais para t depende de 16+k\ge0, isto é, k\ge -16. Para cada k fazemos:
  • k = -32 (caso k<-16):
    • 16+k=-16<0 \Rightarrow não há raízes reais em t.
    • Observação: a função g(y)=y^4-8y^2 tem mínimo -16 (em y=\pm2). Assim y^4-8y^2-k\ge -16-k>0 porque -16-k=16>0. Conclusão prática: o radicando é positivo para todo y, logo para todo y existem duas abscissas x=\pm\frac{1}{2}\sqrt{\cdot}. A curva de nível é formada por duas componentes contínuas (uma à direita e uma à esquerda) que existem para todos os y — isto é, ramos “estendidos” no sentido vertical.
    • No GeoGebra: plotar a curva implícita com k=-32; vai ver duas faixas contínuas simétricas em x.
  • k = -16 (caso degenerado, aparece o ponto de sela):
    • 16+k=0. A equação fica 4x^{2}=(y^{2}-4)^{2} ou x=\pm\frac{1}{2}|y^{2}-4|.
    • Aqui a curva é o caso limite: ela toca o eixo x=0 exatamente nos pontos (0,\pm2) (os pontos de sela). Para |y|<2 temos x=\pm\frac{1}{2}(4-y^{2}) (um “lóbulinho” próximo ao eixo y), e para |y|>2 temos x=\pm\frac{1}{2}(y^{2}-4) (ramo que cresce quadraticamente). No GeoGebra aparecerá uma forma com “cingulos” que se tocam em y=\pm2.
  • k = -8 (caso -16<k<0):
    • Calcule \sqrt{16+k}=\sqrt{8}\approx 2{,}828.
    • Então t_{1}=4-\sqrt{8}\approx 1{,}1716 e t_{2}=4+\sqrt{8}\approx 6{,}828.
    • Assim as raízes em y são y=\pm\sqrt{t_{1}}\approx\pm1{,}082 e y=\pm\sqrt{t_{2}}\approx\pm2{,}615.
    • Interpretação dos intervalos de y onde x é real:
      • |y|\le \approx1{,}082 (radicando \ge0) — produz um laço interno em torno da origem;
      • 1{,}082<|y|<2{,}615 (radicando <0) — nenhum ponto real;
      • |y|\ge 2{,}615 (radicando \ge0) — ramos externos que se estendem para o infinito.
    • Logo a curva de nível tem um laço interno (fechado) em volta da origem e ramos externos desconectados. No GeoGebra esse comportamento fica bem visível ao traçar a curva implícita para k=-8.
  • k = 0:
    • \sqrt{16+0}=4. Então t_{1}=0,\\ t_{2}=8 e as raízes em y são y=0 e y=\pm\sqrt{8}\approx\pm2{,}828.
    • O radicando é y^{2}(y^{2}-8). Assim há solução em y=0 com x=0 (o ponto (0,0) de máximo local) e há ramos para |y|\ge \sqrt{8}. Entre 0<|y|<\sqrt{8} não há pontos reais.
    • Conclusão: a curva de nível k=0 consiste em um ponto isolado na origem e dois ramos externos simétricos (um para y grande positivo e outro para y grande negativo).
  • k = 16 (caso k>0):
    • \sqrt{16+16}=\sqrt{32}\approx 5{,}657, então t_{1}=4-5{,}657 é negativo, t_{2}=4+5{,}657\approx9{,}657 positivo.
    • Portanto existe apenas um t>0, dando duas raízes em y: y=\pm\sqrt{9{,}657}\approx\pm3{,}108.
    • Interpretação: o radicando é \ge0 para |y|\ge 3{,}108 apenas; para valores de y menores não existem soluções. A curva de nível consiste só de ramos externos (sem laço interno) — ou seja, duas componentes simétricas permanecem para |y| grandes.

Passo 7

Como esboçar de maneira prática (resumo de passos que você aplica no GeoGebra e no papel):
  1. No GeoGebra 3D, digite a superfície: z = y^4 - 8 y^2 - 4 x^2. Rode para ver forma geral.
  2. Marque os pontos críticos: (0,0,0) e (0,±2,-16) (no GeoGebra crie pontos com as coordenadas e confirme). Eles ajudam a orientar o esboço.
  3. Para curvas de nível, escolha os k sugeridos: por exemplo k=-32,\\\ -16,\\\ -8,\\\ 0,\\\ 16.
    • No 3D: crie planos z=k e intercepte com a superfície (Intersect).
    • No 2D (planta de curvas): digite a equação implícita y^{4}-8y^{2}-4x^{2}=k para cada k. Observe os formatos descritos no passo anterior.
  4. Se quiser controlar manualmente, use as parametrizações em y: x=\pm\frac{1}{2}\sqrt{y^{4}-8y^{2}-k},\qquad y\in I,onde I são os intervalos de y em que o radicando é não negativo (calcule os extremos resolvendo numericamente y^{4}-8y^{2}-k=0).
  5. Para esboço à mão: desenhe primeiro os eixos, marque (0,0) e (0,\pm2) e anote valores z(0,0)=0 e z(0,\pm2)=-16. Use as simetrias para desenhar as curvas na planta xy e as secções em x (parábolas invertidas) para montar a forma 3D.

Passo 8

Dicas pedagógicas e lembretes para a prova (o que fazer rápido e o que não esquecer):
  • Sempre comece por simetrias e pontos críticos — salvam tempo e guiam o formato.
  • Use a transformação u=y^{2}-4,\\ v=2x para ver as curvas de nível como hipérbolas (isso dá intuição imediata sobre ramificações e degenerações).
  • Lembre que o mínimo de g(y)=y^{4}-8y^{2} é -16 em y=\pm2. Assim k=-16 é valor crítico que muda qualitativamente as curvas.
  • Para desenhar no papel: marque os valores críticos de y (raízes em t) e plote a função radicando em y (gráfico de R(y)=y^{4}-8y^{2}-k) — os intervalos onde R(y)\ge0 são exatamente onde aparecem pontos na curva de nível.

Resposta

Superfície: z=y^{4}-8y^{2}-4x^{2}.
Curvas de nível (formas e exemplos práticos para plotagem):
  • Para cada k, curvas definidas por y^{4}-8y^{2}-4x^{2}=k, equivalentes a x=\pm\tfrac{1}{2}\sqrt{y^{4}-8y^{2}-k},com domínio em y dado por y^{4}-8y^{2}-k\ge0.
Exemplos numéricos e comportamento qualitativo:
  • k=-32: radicando >0 para todo y. Curva de nível = duas componentes contínuas (ramificações direita/esquerda) para todo y.
  • k=-16: caso degenerado; curva dada por x=\pm\tfrac{1}{2}|y^{2}-4|. Passa por (0,\pm2) (pontos de sela).
  • k=-8: \sqrt{16+k}=\sqrt{8}. Zeros em y\approx\pm1{,}082 e y\approx\pm2{,}615. Curva tem um laço interno (para |y|\le1{,}082) e ramos externos (para |y|\ge2{,}615).
  • k=0: zeros em y=0 e y\approx\pm2{,}828. Curva: ponto isolado em (0,0) e ramos exteriores para |y|\ge2{,}828.
  • k=16: apenas zeros em y\approx\pm3{,}108. Curva: somente ramos externos (não há laço interno).
Comandos GeoGebra recomendados:
  • Superfície 3D: digitar na entrada: z = y^4 - 8 y^2 - 4 x^2.
  • Curvas de nível (3D): criar planos z = k e usar Intersect(Surface, Plane).
  • Curvas de nível (2D): digitar a equação implícita na vista 2D: y^4 - 8 y^2 - 4 x^2 = k.
  • Parametrizações (opcional): Curve[ 1/2*sqrt(y4-8*y2-k), y, y_min, y_max ] e a versão negativa para a outra metade; determine y_min,y_max resolvendo y4-8*y2-k=0.
Bom estudo — comece traçando k=-32,\,-16,\,-8,\,0,\,16 no GeoGebra e compare os formatos; isso dá uma visão completa da transição das curvas de nível e do aspecto da superfície em 3D.

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