(Utilizando Geogebra) Esboce os gráficos de
e algumas curvas de nível de
para alguns valores de k .
Passo 1
Aqui está o que o enunciado pede e os dados que temos (sem resolver nada ainda):
- O enunciado pede: esboçar o gráfico da superfície
e também algumas curvas de nível dadas por para alguns valores de . - A função dada é
- O objetivo prático: (1) desenhar a superfície
em 3D; (2) desenhar/estudar curvas de nível para vários , e entender como mudar altera as curvas.
Passo 2
Propriedades úteis e simetrias (coisa importante para esboçar rápido e sem erro):
- Simetria em
e em : portanto o gráfico e as curvas de nível são simétricos em relação aos eixos e . Isso já reduz bastante trabalho: basta desenhar no quadrante e refletir. - Crescimento/límites:
Ou seja: ao longo do eixo
a superfície sobe muito (termo
), mas ao longo do eixo
a superfície desce (parábola negativa em
). Isso dá a ideia de uma “colina/barbatana” ao longo de
e “vales” quando se vai em
.
- Estrutura separável: escrevendo
para cada valor fixo de a seção em é uma parábola invertida ; para cada fixo a seção em é um quartic . Isso ajuda a imaginar cortes.
Passo 3
Pontos críticos (úteis para saber onde a superfície tem topos / selas):
- Calcular o gradiente:
Igualando a zero:
Assim os pontos críticos são
e
.
- Valores em cada ponto:
- Classificação com Hessiana:
- Em
: e e ponto de máximo local em com . - Em
: e ponto de sela em com .
- Em
Esses pontos serão marcadores importantes no esboço 3D e também aparecem nas curvas de nível (por exemplo
e
).
Passo 4
Equação das curvas de nível e manipulação algébrica útil para esboço:
- Curvas de nível definidas por
- Isolar
:
Logo, para ter pontos reais na curva, é necessário
- Reescrever de forma conveniente: note que
então
Definindo
e
, temos a forma
ou seja, uma hipérbole no plano
. Isso ajuda a entender qualitativamente: as curvas de nível são imagens, pela transformação
, de hipérbolas (ou de casos degenerados) no plano
. Lembrar, porém, que
satisfaz
(pois
), então parte da hipérbole pode ser “cortada” pela condição de validade de
.
Passo 5
Como proceder no GeoGebra (passo-a-passo prático e comandos/técnica):
- Desenhar a superfície 3D:
- Abrir a vista 3D do GeoGebra.
- Na barra de entrada, digitar (exatamente) a equação da superfície:
(no GeoGebra basta escrever: z = y^4 - 8 y^2 - 4 x^2). A superfície aparecerá imediatamente. - Use rotação e zoom para observar cortes por planos
const e const.
- Obter curvas de nível como interseções com planos horizontais:
- Para cada
que quiser, crie o plano horizontal (no GeoGebra 3D: na entrada, escrever por exemplo: z = -16). - Intersecte a superfície com esse plano: usar comando Intersect(Surface,Plane) ou simplesmente clicar com a ferramenta Intersecção entre objetos. O resultado é a curva de nível no espaço 3D; se quiser a projeção no plano
, peça a projeção da interseção no plano .
- Para cada
- Alternativa (2D): plotar a curva implícita no plano
(útil para um mapa de curvas de nível): - No campo de entrada 2D do GeoGebra, digitar a equação implícita:
por exemplo: y^4 - 8 y^2 - 4 x^2 = -8 . O GeoGebra desenhará a(s) curva(s) de nível diretamente no plano.
- No campo de entrada 2D do GeoGebra, digitar a equação implícita:
- Se preferir plotar como curva paramétrica (útil quando quiser controlar o domínio em
): - A partir de
, definir duas curvas paramétricas (uma para e outra ):
- A partir de
onde \(I\) é o conjunto de \(y\) para os quais o radicando é \(\ge0\). No GeoGebra escreva Curve[ 1/2*sqrt(y^4-8*y^2-k), y, y_min, y_max] e a versão negativa.
- Determinar
resolvendo numericamente para achar os intervalos . O GeoGebra faz isso com Solve ou com o botão de cálculo numérico.
Passo 6
Valores
representativos e interpretação das curvas de nível (faça exatamente esses para ver a transição de formatos):
Vamos escolher e analisar alguns
típicos:
(muito negativo),
(valor do ponto de sela),
(entre
e
),
(valor do máximo local),
(positivo).
Para análise usamos
. A equação
vira
A existência de raízes reais para
depende de
, isto é,
. Para cada
fazemos:
-
k =
(caso ): -
não há raízes reais em . - Observação: a função
tem mínimo (em ). Assim porque . Conclusão prática: o radicando é positivo para todo , logo para todo existem duas abscissas . A curva de nível é formada por duas componentes contínuas (uma à direita e uma à esquerda) que existem para todos os — isto é, ramos “estendidos” no sentido vertical. - No GeoGebra: plotar a curva implícita com
; vai ver duas faixas contínuas simétricas em .
-
-
k =
(caso degenerado, aparece o ponto de sela): -
. A equação fica ou - Aqui a curva é o caso limite: ela toca o eixo
exatamente nos pontos (os pontos de sela). Para temos (um “lóbulinho” próximo ao eixo ), e para temos (ramo que cresce quadraticamente). No GeoGebra aparecerá uma forma com “cingulos” que se tocam em .
-
-
k =
(caso ): - Calcule
. - Então
e . - Assim as raízes em
são e . - Interpretação dos intervalos de
onde é real: -
(radicando ) — produz um laço interno em torno da origem; -
(radicando ) — nenhum ponto real; -
(radicando ) — ramos externos que se estendem para o infinito.
-
- Logo a curva de nível tem um laço interno (fechado) em volta da origem e ramos externos desconectados. No GeoGebra esse comportamento fica bem visível ao traçar a curva implícita para
.
- Calcule
-
k =
: -
. Então e as raízes em são e . - O radicando é
. Assim há solução em com (o ponto de máximo local) e há ramos para . Entre não há pontos reais. - Conclusão: a curva de nível
consiste em um ponto isolado na origem e dois ramos externos simétricos (um para grande positivo e outro para grande negativo).
-
-
k =
(caso ): -
, então é negativo, positivo. - Portanto existe apenas um
, dando duas raízes em : . - Interpretação: o radicando é
para apenas; para valores de menores não existem soluções. A curva de nível consiste só de ramos externos (sem laço interno) — ou seja, duas componentes simétricas permanecem para grandes.
-
Passo 7
Como esboçar de maneira prática (resumo de passos que você aplica no GeoGebra e no papel):
- No GeoGebra 3D, digite a superfície: z = y^4 - 8 y^2 - 4 x^2. Rode para ver forma geral.
- Marque os pontos críticos: (0,0,0) e (0,±2,-16) (no GeoGebra crie pontos com as coordenadas e confirme). Eles ajudam a orientar o esboço.
- Para curvas de nível, escolha os
sugeridos: por exemplo . - No 3D: crie planos
e intercepte com a superfície (Intersect). - No 2D (planta de curvas): digite a equação implícita
para cada . Observe os formatos descritos no passo anterior.
- No 3D: crie planos
- Se quiser controlar manualmente, use as parametrizações em
: onde são os intervalos de em que o radicando é não negativo (calcule os extremos resolvendo numericamente ). - Para esboço à mão: desenhe primeiro os eixos, marque
e e anote valores e . Use as simetrias para desenhar as curvas na planta e as secções em (parábolas invertidas) para montar a forma 3D.
Passo 8
Dicas pedagógicas e lembretes para a prova (o que fazer rápido e o que não esquecer):
- Sempre comece por simetrias e pontos críticos — salvam tempo e guiam o formato.
- Use a transformação
para ver as curvas de nível como hipérbolas (isso dá intuição imediata sobre ramificações e degenerações). - Lembre que o mínimo de
é em . Assim é valor crítico que muda qualitativamente as curvas. - Para desenhar no papel: marque os valores críticos de
(raízes em ) e plote a função radicando em (gráfico de ) — os intervalos onde são exatamente onde aparecem pontos na curva de nível.
Resposta
Superfície:
.
Curvas de nível (formas e exemplos práticos para plotagem):
- Para cada
, curvas definidas por , equivalentes a com domínio em dado por .
Exemplos numéricos e comportamento qualitativo:
-
: radicando para todo . Curva de nível = duas componentes contínuas (ramificações direita/esquerda) para todo . -
: caso degenerado; curva dada por . Passa por (pontos de sela). -
: . Zeros em e . Curva tem um laço interno (para ) e ramos externos (para ). -
: zeros em e . Curva: ponto isolado em e ramos exteriores para . -
: apenas zeros em . Curva: somente ramos externos (não há laço interno).
Comandos GeoGebra recomendados:
- Superfície 3D: digitar na entrada: z = y^4 - 8 y^2 - 4 x^2.
- Curvas de nível (3D): criar planos z = k e usar Intersect(Surface, Plane).
- Curvas de nível (2D): digitar a equação implícita na vista 2D: y^4 - 8 y^2 - 4 x^2 = k.
- Parametrizações (opcional): Curve[ 1/2*sqrt(y4-8*y2-k), y, y_min, y_max ] e a versão negativa para a outra metade; determine y_min,y_max resolvendo y4-8*y2-k=0.
Bom estudo — comece traçando
no GeoGebra e compare os formatos; isso dá uma visão completa da transição das curvas de nível e do aspecto da superfície em 3D.