Mostre que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4}-y^{2}}{x^{4}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{4}-y^{2}}{x^{4}+y^{2}}
não existe.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis. Para provar que um limite não existe, basta encontrar duas trajetórias de aproximação ao ponto (0,0) que levem a valores diferentes.

Passo 2

Considere a trajetória y=0. Sobre essa reta, a função se reduz a
\frac{x^{4}-0}{x^{4}+0}
que para x\to0 vale sempre
1.
Logo,
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x^{4}-0}{x^{4}+0}=1.

Passo 3

Agora considere a trajetória y=x^{2}. Substituindo y=x^{2} na função, obtemos
\frac{x^{4}-(x^{2})^{2}}{x^{4}+(x^{2})^{2}} =\frac{x^{4}-x^{4}}{x^{4}+x^{4}} =\frac{0}{2x^{4}} =0.
Portanto,
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x^{4}-(x^{2})^{2}}{x^{4}+(x^{2})^{2}}=0.

Passo 4

Como pela reta y=0 o limite vale 1 e pela parábola y=x^{2} o limite vale 0, obtemos dois valores diferentes. Isso basta para concluir que o limite em duas variáveis não existe.

Resposta

O limite não existe.

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