Mostre que os limites seguintes não existem:
(Sug. Use o caminho geral )
(Sug. Use o caminho geral )
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite
não existe. As informações que temos são exatamente a expressão da função racional de duas variáveis e o ponto ao qual
tende:
.
As perguntas que o problema faz são:
- Determinar se existe um número real
tal que, para qualquer modo de aproximar de , os valores da função tendam a . - Caso não exista um único
, mostrar isso encontrando dois caminhos de aproximação que dão limites diferentes.
Passo 2
Lembrete didático: em limites de funções de duas variáveis, uma maneira padrão de testar existência é o método dos caminhos. Se o limite existir, o valor limite deve ser o mesmo para todas as sequências ou caminhos que se aproximem de
. Assim, para provar que o limite NÃO existe basta encontrar dois caminhos de aproximação que deem limites diferentes.
Uma ideia útil quando o denominador pode se anular com termos lineares é escolher caminhos que façam o denominador ter ordem maior (por exemplo
) comparada com os termos do numerador, de modo a obter um quociente diferente do que aparece ao usar caminhos lineares simples.
Passo 3
Primeiro teste simples: aproximar por retas
com
fixo. Substituindo
obtemos:
Simplificando (para
):
Como
quando
por essa reta, o produto acima tende a
. Portanto, para qualquer reta
com
, o limite ao longo dessa reta é
.
Observação: isso não prova que o limite total é
, apenas mostra que muitas retas dão limite
. Precisamos testar caminhos mais gerais.
Passo 4
Agora vamos aplicar a sugestão “use o caminho geral” no sentido de procurar um caminho que torne o denominador de ordem maior (por exemplo da ordem
), para que o quociente não fique sendo simplesmente proporcional a
e possa convergir a um número diferente de
.
Proponha escolher um caminho que faça
Isso define
como função de
. Resolvendo para
obtemos:
Quando
, temos
, então esse é um caminho válido que aproxima
.
Passo 5
Calcule agora o numerador ao longo desse caminho. Substituindo
em
:
Primeiro calcule
. Expandindo cuidadosamente,
Cada termo é:
Logo
Agora o numerador:
Distribuindo:
Combine os termos de ordem
:
Portanto
Passo 6
O denominador ao longo do mesmo caminho foi escolhido para ser exatamente
, pois impusemos
. Logo, ao longo desse caminho a função torna-se
Dividindo cada termo por
(para
):
Passo 7
Agora faça
ao longo desse caminho. O limite da expressão anterior quando
é
Portanto, ao aproximar
por esse caminho curvo que satisfaz
, o limite da função é
.
Passo 8
Concluímos agora: ao aproximar por retas
(com
) o limite é
; ao aproximar pelo caminho
o limite é
. Como esses dois valores são diferentes, o limite da função quando
não pode existir.
Intuição final: o denominador sendo linear permite que, em muitos caminhos, a razão seja de ordem
e thus tenda a zero; mas escolhendo um caminho que anule a parte linear do denominador até ordem
(ou seja, fazendo o denominador menor), a fração pode convergir a um número não nulo. Isso mostra a dependência do resultado do caminho e, portanto, a não existência do limite.
Resposta
O limite não existe.