Mostre que os limites seguintes não existem:
(Sug. Use o caminho geral )
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^{2}-2 y^{2}}{2 x+3 y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^{2}-2y^{2}}{2x+3y}
não existe. As informações que temos são exatamente a expressão da função racional de duas variáveis e o ponto ao qual (x,y) tende: (0,0).
As perguntas que o problema faz são:
  • Determinar se existe um número real L tal que, para qualquer modo de aproximar (x,y) de (0,0), os valores da função tendam a L.
  • Caso não exista um único L, mostrar isso encontrando dois caminhos de aproximação que dão limites diferentes.

Passo 2

Lembrete didático: em limites de funções de duas variáveis, uma maneira padrão de testar existência é o método dos caminhos. Se o limite existir, o valor limite deve ser o mesmo para todas as sequências ou caminhos que se aproximem de (0,0). Assim, para provar que o limite NÃO existe basta encontrar dois caminhos de aproximação que deem limites diferentes.
Uma ideia útil quando o denominador pode se anular com termos lineares é escolher caminhos que façam o denominador ter ordem maior (por exemplo x^2) comparada com os termos do numerador, de modo a obter um quociente diferente do que aparece ao usar caminhos lineares simples.

Passo 3

Primeiro teste simples: aproximar por retas \,y=m x com m fixo. Substituindo y=m x obtemos:
\frac{3x^{2}-2y^{2}}{2x+3y} = \frac{3x^{2}-2(m x)^{2}}{2x+3(m x)} = \frac{x^{2}\bigl(3-2m^{2}\bigr)}{x\bigl(2+3m\bigr)}.
Simplificando (para 2+3m\neq0):
\frac{3x^{2}-2y^{2}}{2x+3y} = x\cdot\frac{3-2m^{2}}{2+3m}.
Como x\to0 quando (x,y)\to(0,0) por essa reta, o produto acima tende a 0. Portanto, para qualquer reta y=mx com 2+3m\neq0, o limite ao longo dessa reta é 0.
Observação: isso não prova que o limite total é 0, apenas mostra que muitas retas dão limite 0. Precisamos testar caminhos mais gerais.

Passo 4

Agora vamos aplicar a sugestão “use o caminho geral” no sentido de procurar um caminho que torne o denominador de ordem maior (por exemplo da ordem x^{2}), para que o quociente não fique sendo simplesmente proporcional a x e possa convergir a um número diferente de 0.
Proponha escolher um caminho que faça
2x+3y = x^{2}.
Isso define y como função de x. Resolvendo para y obtemos:
y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}x^{2}.
Quando x\to0, temos y\to0, então esse é um caminho válido que aproxima (0,0).

Passo 5

Calcule agora o numerador ao longo desse caminho. Substituindo y = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{3}x^{2} em 3x^{2}-2y^{2}:
Primeiro calcule y^{2}. Expandindo cuidadosamente,
y^{2}=\left(-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}x^{2}\right)^{2} = \left(-\frac{2}{3}x\right)^{2} + 2\left(-\frac{2}{3}x\right)\left(\frac{1}{3}x^{2}\right) + \left(\frac{1}{3}x^{2}\right)^{2}.
Cada termo é:
\left(-\frac{2}{3}x\right)^{2}=\frac{4}{9}x^{2}, \qquad 2\left(-\frac{2}{3}x\right)\left(\frac{1}{3}x^{2}\right)=-\frac{4}{9}x^{3}, \qquad \left(\frac{1}{3}x^{2}\right)^{2}=\frac{1}{9}x^{4}.
Logo
y^{2}=\frac{4}{9}x^{2}-\frac{4}{9}x^{3}+\frac{1}{9}x^{4}.
Agora o numerador:
3x^{2}-2y^{2} =3x^{2}-2\left(\frac{4}{9}x^{2}-\frac{4}{9}x^{3}+\frac{1}{9}x^{4}\right).
Distribuindo:
3x^{2}-2y^{2} =3x^{2}-\frac{8}{9}x^{2}+\frac{8}{9}x^{3}-\frac{2}{9}x^{4}.
Combine os termos de ordem x^{2}:
3x^{2}-\frac{8}{9}x^{2}=\left(3-\frac{8}{9}\right)x^{2}=\frac{27-8}{9}x^{2}=\frac{19}{9}x^{2}.
Portanto
3x^{2}-2y^{2}=\frac{19}{9}x^{2}+\frac{8}{9}x^{3}-\frac{2}{9}x^{4}.

Passo 6

O denominador ao longo do mesmo caminho foi escolhido para ser exatamente x^{2}, pois impusemos 2x+3y=x^{2}. Logo, ao longo desse caminho a função torna-se
\frac{3x^{2}-2y^{2}}{2x+3y} = \frac{\frac{19}{9}x^{2}+\frac{8}{9}x^{3}-\frac{2}{9}x^{4}}{x^{2}}.
Dividindo cada termo por x^{2} (para x\neq0):
\frac{3x^{2}-2y^{2}}{2x+3y} = \frac{19}{9} + \frac{8}{9}x - \frac{2}{9}x^{2}.

Passo 7

Agora faça x\to0 ao longo desse caminho. O limite da expressão anterior quando x\to0 é
\lim_{x\to0}\left(\frac{19}{9} + \frac{8}{9}x - \frac{2}{9}x^{2}\right) = \frac{19}{9}.
Portanto, ao aproximar (x,y) por esse caminho curvo que satisfaz 2x+3y=x^{2}, o limite da função é \dfrac{19}{9}.

Passo 8

Concluímos agora: ao aproximar por retas y=mx (com 2+3m\neq0) o limite é 0; ao aproximar pelo caminho 2x+3y=x^{2} o limite é \dfrac{19}{9}. Como esses dois valores são diferentes, o limite da função quando (x,y)\to(0,0) não pode existir.
Intuição final: o denominador sendo linear permite que, em muitos caminhos, a razão seja de ordem x e thus tenda a zero; mas escolhendo um caminho que anule a parte linear do denominador até ordem x^{2} (ou seja, fazendo o denominador menor), a fração pode convergir a um número não nulo. Isso mostra a dependência do resultado do caminho e, portanto, a não existência do limite.

Resposta

O limite não existe.

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