Mostre que os limites seguintes não existem:
(Sug. Use o caminho geral )
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+3 y^{2}}{4 x-3 y}

Passo 1

O problema pede para mostrar que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+3y^{2}}{4x-3y}
não existe. Informações dadas e observações iniciais úteis:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x^{2}+3y^{2}}{4x-3y} definida quando 4x-3y\neq0.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(0,0).
  • Note que a linha y=\dfrac{4}{3}x anula o denominador (isto é, 4x-3y=0 nessa linha), o que indica que aproximar-se de (0,0) por direções próximas a essa reta pode causar comportamento diferente do que por outras direções. A tarefa é provar que, ao aproximar-se por caminhos diferentes, obtemos limites distintos — logo o limite total não existe.

Passo 2

Ideia prática: testar aproximações por retas y=kx (caminho geral linear) para ver o valor limite em função de k. Tomando y=kx com k\neq\dfrac{4}{3}, substituímos na expressão:
\frac{x^{2}+3y^{2}}{4x-3y} = \frac{x^{2}+3(kx)^{2}}{4x-3(kx)} = \frac{x^{2}+3k^{2}x^{2}}{x(4-3k)}.
Agora fatoramos x em cima:
\frac{x^{2}(1+3k^{2})}{x(4-3k)} = x\cdot\frac{1+3k^{2}}{4-3k}.
Ao fazermos x\to0 (e portanto (x,y)\to(0,0) ao seguir essa reta), obtemos
\lim_{x\to0} x\cdot\frac{1+3k^{2}}{4-3k} = 0,
desde que 4-3k\neq0 (isto é, k\neq\dfrac{4}{3}). Conclusão: para qualquer reta y=kx com k\neq\dfrac{4}{3}, o limite da função ao longo dessa reta é 0.

Passo 3

A reta crítica y=\dfrac{4}{3}x anula o denominador, então não podemos usar exatamente essa reta. Para explorar o comportamento quando nos aproximamos por caminhos que se alinham com essa reta mas desviam ligeiramente, escolhemos um caminho com termo de ordem superior que deixa o denominador da mesma ordem do numerador. Uma boa escolha é
y=\frac{4}{3}x + c x^{2},
onde c é uma constante não nula. Esse caminho aproxima-se de (0,0) quando x\to0 e tem o primeiro termo alinhado com a reta problemática.
Substituímos esse y na função. Primeiro o denominador:
4x-3y = 4x -3\Big(\frac{4}{3}x + c x^{2}\Big) =4x -4x -3c x^{2} = -3c x^{2}.
Agora o numerador. Calculamos y^{2}:
y^{2}=\Big(\frac{4}{3}x + c x^{2}\Big)^{2} =\Big(\frac{4}{3}x\Big)^{2} + 2\cdot\frac{4}{3}x\cdot c x^{2} + c^{2}x^{4} =\frac{16}{9}x^{2} + \frac{8c}{3}x^{3} + c^{2}x^{4}.
Multiplicando por 3 e somando x^{2}:
x^{2}+3y^{2} = x^{2} + 3\Big(\frac{16}{9}x^{2} + \frac{8c}{3}x^{3} + c^{2}x^{4}\Big) = x^{2} + \frac{16}{3}x^{2} + 8c x^{3} + 3c^{2}x^{4}.
Somando os termos em x^{2}:
x^{2}+3y^{2} = \frac{19}{3}x^{2} + 8c x^{3} + 3c^{2}x^{4}.

Passo 4

Agora formamos a razão e simplificamos por x^{2} (note que tanto numerador quanto denominador são O(x^{2}) nesta curva):
\frac{x^{2}+3y^{2}}{4x-3y} = \frac{\frac{19}{3}x^{2} + 8c x^{3} + 3c^{2}x^{4}}{-3c x^{2}} = \frac{\frac{19}{3} + 8c x + 3c^{2}x^{2}}{-3c}.
Fazendo x\to0 ao longo desse caminho obtemos o limite
\lim_{x\to0} \frac{x^{2}+3y^{2}}{4x-3y} = \frac{\frac{19}{3}}{-3c} = -\frac{19}{9c}.
Portanto, ao aproximar-se por y=\dfrac{4}{3}x + c x^{2} o limite depende de c: é igual a -\dfrac{19}{9c}.

Passo 5

Para demonstrar que o limite total não existe, basta encontrar dois caminhos que tendem a (0,0) e dão limites diferentes. Já temos:
  • Para a reta y=0 (caso do Passo 2 com k=0), o limite é 0.
  • Para a curva y=\dfrac{4}{3}x + x^{2} (caso do Passo 4 com c=1), o limite é -\dfrac{19}{9}.
Como 0 \neq -\dfrac{19}{9}, os limites ao longo desses dois caminhos são diferentes. Logo a função não tem limite único quando (x,y)\to(0,0).

Resposta

O limite não existe.

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