Mostre que os limites seguintes não existem:
(Sug. Use o caminho geral )
(Sug. Use o caminho geral )
Passo 1
O problema pede para mostrar que o limite
não existe. Informações dadas e observações iniciais úteis:
- A função é
definida quando . - O ponto de interesse é
. - Note que a linha
anula o denominador (isto é, nessa linha), o que indica que aproximar-se de por direções próximas a essa reta pode causar comportamento diferente do que por outras direções. A tarefa é provar que, ao aproximar-se por caminhos diferentes, obtemos limites distintos — logo o limite total não existe.
Passo 2
Ideia prática: testar aproximações por retas
(caminho geral linear) para ver o valor limite em função de
. Tomando
com
, substituímos na expressão:
Agora fatoramos
em cima:
Ao fazermos
(e portanto
ao seguir essa reta), obtemos
desde que
(isto é,
). Conclusão: para qualquer reta
com
, o limite da função ao longo dessa reta é
.
Passo 3
A reta crítica
anula o denominador, então não podemos usar exatamente essa reta. Para explorar o comportamento quando nos aproximamos por caminhos que se alinham com essa reta mas desviam ligeiramente, escolhemos um caminho com termo de ordem superior que deixa o denominador da mesma ordem do numerador. Uma boa escolha é
onde
é uma constante não nula. Esse caminho aproxima-se de
quando
e tem o primeiro termo alinhado com a reta problemática.
Substituímos esse
na função. Primeiro o denominador:
Agora o numerador. Calculamos
:
Multiplicando por
e somando
:
Somando os termos em
:
Passo 4
Agora formamos a razão e simplificamos por
(note que tanto numerador quanto denominador são
nesta curva):
Fazendo
ao longo desse caminho obtemos o limite
Portanto, ao aproximar-se por
o limite depende de
: é igual a
.
Passo 5
Para demonstrar que o limite total não existe, basta encontrar dois caminhos que tendem a
e dão limites diferentes. Já temos:
- Para a reta
(caso do Passo 2 com ), o limite é . - Para a curva
(caso do Passo 4 com ), o limite é .
Como
, os limites ao longo desses dois caminhos são diferentes. Logo a função não tem limite único quando
.
Resposta
O limite não existe.