Mostre que os limites seguintes não existem:
(Sug. Use o caminho geral )
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+4 y^{2}}{3 x-5 y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+4y^{2}}{3x-5y}
não existe. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{x^{2}+4y^{2}}{3x-5y}, definida quando 3x-5y\neq0.
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • Observação importante (retirada do próprio enunciado): a reta 3x-5y=0, i.e. y=\dfrac{3}{5}x, faz o denominador ser zero, então a função não está definida exatamente nessa reta (exceto possivelmente na origem).
O que precisamos provar: mostrar que, ao nos aproximarmos de (0,0) por caminhos diferentes, obtemos limites diferentes; portanto o limite em duas variáveis não existe.

Passo 2

Explicação do método (curtinha e prática): em limites de funções de duas variáveis uma forma padrão de testar existência é verificar limites ao longo de vários caminhos. Se encontrarmos dois caminhos que dão limites diferentes, então o limite não existe. Vou primeiro calcular o limite ao longo de retas que passam pela origem, isto é caminhos do tipo y=mx com m constante. (Isto é o “caminho geral” sugerido.)
Substituindo y=mx temos
\frac{x^{2}+4y^{2}}{3x-5y}=\frac{x^{2}+4m^{2}x^{2}}{3x-5mx}.
Agrupando fatores de x:
\frac{x^{2}(1+4m^{2})}{x(3-5m)}=\frac{x(1+4m^{2})}{3-5m}.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando x\to0 (movendo-nos na reta y=mx até a origem). Para m\neq \dfrac{3}{5} o denominador 3-5m é diferente de zero, então
\lim_{x\to0}\frac{x(1+4m^{2})}{3-5m}=0.
Portanto, ao longo de qualquer reta y=mx com m\neq\dfrac{3}{5} o limite da função quando (x,y)\to(0,0) é 0.
Note que a reta com m=\dfrac{3}{5} não pode ser usada diretamente porque aí 3-5m=0 e a expressão anterior não é válida — de fato a função não está definida sobre essa reta próxima à origem. Por isso precisamos testar um caminho que se aproxime da origem e que esteja muito próximo, mas não exatamente sobre, essa reta problemática; assim podemos obter outro valor limite.

Passo 4

Escolho um caminho que se aproxima da reta y=\dfrac{3}{5}x mas que não a coincide: por simplicidade tomo
y=\frac{3}{5}x + x^{2}.
Este caminho converge para 0 quando x\to0 e para pequenos x o denominador ficará de ordem x^{2}, o que pode produzir um limite diferente de 0. Vamos calcular cuidadosamente.
Primeiro calcule y^{2}:
y^{2}=\Big(\frac{3}{5}x + x^{2}\Big)^{2} =\frac{9}{25}x^{2} + 2\cdot\frac{3}{5}x\cdot x^{2} + x^{4} =\frac{9}{25}x^{2}+\frac{6}{5}x^{3}+x^{4}.
Agora o numerador:
x^{2}+4y^{2} = x^{2} + 4\Big(\frac{9}{25}x^{2}+\frac{6}{5}x^{3}+x^{4}\Big) = x^{2}+\frac{36}{25}x^{2} + \frac{24}{5}x^{3} +4x^{4}.
Agrupando os termos em potências de x:
x^{2}+4y^{2}=\frac{61}{25}x^{2} + \frac{24}{5}x^{3} +4x^{4}.
O denominador:
3x-5y = 3x -5\Big(\frac{3}{5}x + x^{2}\Big) = 3x -3x -5x^{2} = -5x^{2}.
Agora a razão ao longo desse caminho é
\frac{x^{2}+4y^{2}}{3x-5y} = \frac{\dfrac{61}{25}x^{2} + \dfrac{24}{5}x^{3} +4x^{4}}{-5x^{2}} = -\frac{61}{125} - \frac{24}{25}x - \frac{4}{5}x^{2}.
Tomando x\to0 obtemos
\lim_{x\to0}\frac{x^{2}+4y^{2}}{3x-5y} = -\frac{61}{125}.

Passo 5

Conclusão lógica: ao aproximar (0,0) por retas y=mx com m\neq\dfrac{3}{5} o limite é 0. Ao aproximar por y=\dfrac{3}{5}x + x^{2} o limite é -\dfrac{61}{125}. Como existem pelo menos dois caminhos que dão limites diferentes, o limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^{2}+4y^{2}}{3x-5y} não é único e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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