Mostre que os limites seguintes não existem:
(Sug. Use o caminho geral )
(Sug. Use o caminho geral )
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não existe. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função considerada é
, definida quando . - O ponto de interesse é
. - Observação importante (retirada do próprio enunciado): a reta
, i.e. , faz o denominador ser zero, então a função não está definida exatamente nessa reta (exceto possivelmente na origem).
O que precisamos provar: mostrar que, ao nos aproximarmos de
por caminhos diferentes, obtemos limites diferentes; portanto o limite em duas variáveis não existe.
Passo 2
Explicação do método (curtinha e prática): em limites de funções de duas variáveis uma forma padrão de testar existência é verificar limites ao longo de vários caminhos. Se encontrarmos dois caminhos que dão limites diferentes, então o limite não existe. Vou primeiro calcular o limite ao longo de retas que passam pela origem, isto é caminhos do tipo
com
constante. (Isto é o “caminho geral” sugerido.)
Substituindo
temos
Agrupando fatores de
:
Passo 3
Agora tomamos o limite quando
(movendo-nos na reta
até a origem). Para
o denominador
é diferente de zero, então
Portanto, ao longo de qualquer reta
com
o limite da função quando
é
.
Note que a reta com
não pode ser usada diretamente porque aí
e a expressão anterior não é válida — de fato a função não está definida sobre essa reta próxima à origem. Por isso precisamos testar um caminho que se aproxime da origem e que esteja muito próximo, mas não exatamente sobre, essa reta problemática; assim podemos obter outro valor limite.
Passo 4
Escolho um caminho que se aproxima da reta
mas que não a coincide: por simplicidade tomo
Este caminho converge para
quando
e para pequenos
o denominador ficará de ordem
, o que pode produzir um limite diferente de
. Vamos calcular cuidadosamente.
Primeiro calcule
:
Agora o numerador:
Agrupando os termos em potências de
:
O denominador:
Agora a razão ao longo desse caminho é
Tomando
obtemos
Passo 5
Conclusão lógica: ao aproximar
por retas
com
o limite é
. Ao aproximar por
o limite é
. Como existem pelo menos dois caminhos que dão limites diferentes, o limite
não é único e, portanto, não existe.
Resposta
O limite não existe.